變量代換法求極限及其幾點(diǎn)應(yīng)用在教學(xué)中的淺析

【摘 要】變量代換是求函數(shù)極限的重要方法，然而在教學(xué)中往往一帶而過.本文首先闡述這一方法的理論依據(jù)及兩點(diǎn)補(bǔ)充，然后論述它在應(yīng)用時(shí)的具體方法和詳細(xì)的推導(dǎo)過程。

【關(guān)鍵詞】變量；代換法；求極限

高等數(shù)學(xué)中變量代換法求極限的理論依據(jù)是復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則，詳見參考文獻(xiàn)[1]。

下面給出現(xiàn)有文獻(xiàn)中未提及的兩種情況。

定理1 設(shè)y=f [g（x）]由u=g（x）與y=f（u）復(fù)合而成，若，

.且存X0>0，時(shí)g（x）≠u0，則

證明：由于，，當(dāng)0<

|u-u0|<η時(shí)，有|f（u）-A|<ε.又由于，對(duì)上述η>0，，當(dāng)|x|>X1時(shí)，有|g（x）-u0|<η.由條件，存X0>0，時(shí)g（x）≠u0.取X=max（X0，X1），當(dāng)|x|>X時(shí)，有0<|g（x）-u0|<η，從而|f[g（x）]-A|<ε，即

在應(yīng)用時(shí)，要嚴(yán)格考察是否具備定理中所有條件，先看一個(gè)簡單例子：

例1 求極限

解：設(shè)，則，并且u≠0.目標(biāo)函數(shù)為，并且.所以，

定理2：設(shè)y=f[g（x）]由n=g（x）與y=f（n）復(fù)合而成，其中n∈N +.若，則

證明：因?yàn)椋詫?duì)，，當(dāng)n>N時(shí)，有|f（n）-a|<ε又，取G=N，，當(dāng)x>X時(shí)，有g(shù)（x）>G=N.于是，對(duì)上述ε>0，，當(dāng)x>X時(shí)，有|f（n）-a|<ε，即

此定理中，通過變量代換，將函數(shù)極限轉(zhuǎn)換成數(shù)列極限。下面用定理2證明第二重要極限.雖然文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)給出較詳細(xì)的證明，但在最關(guān)鍵一步邏輯上卻不清晰。

例2 證明.

證明：當(dāng)x→+∞時(shí)，由[x] ≤ x ≤ [x]+1得作變量代換n=[x]，這里n∈N +，由定理2，

當(dāng)x→+∞時(shí)，作變量代換u=-x，可得同樣的結(jié)果.下面用變量代換法證明反函數(shù)求導(dǎo)法則和洛必達(dá)法則。

例3 若x=f（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f?（y）≠0，則y=f -1（x）在區(qū)間Ix={x|x=f（y），y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo)，且

證明：由題設(shè)，f -1（x）存在且單調(diào)、連續(xù)，任取x∈Ix，x取得增量，

待求函數(shù)為，作變量代換且?y≠0.?x=f（y+?y）

-f（y），于是

目標(biāo)函數(shù)為，這里所用變量代換雖然抽象但還是可以用題設(shè)中函數(shù)表示的。

例4 若（1）；（2）在某存在且F?（x）≠0；（3）存在（或?yàn)椤蓿?則（或?yàn)椤蓿?/p>

證明：f（a）=F（a）=0設(shè)，則f（x）與F（x）在某U（a）連續(xù)。任取，在[x，a]（或[a，x]）上應(yīng)用柯西中值定理，有（記為（*）式）。此式中ξ介于a與x之間，不妨要求任一x對(duì)應(yīng)唯一的ξ值.則相當(dāng)于由柯西中值定理定義了x與ξ間的一個(gè)一元單值函數(shù)關(guān)系，設(shè)為ξ=g（x），并且.則（*）=，于是，待求函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)（）與ξ=g（x）的復(fù)合函數(shù)注釋[1]。從而

注釋[1]：（1）與（2）不是同一個(gè)函數(shù)，定義域不同。（1）的定義域包含于U°（a），且不能證明（1）中ξ連續(xù)地趨于點(diǎn)a.但定理1的條件按極限的定義，要求（4）式中ξ必須連續(xù)地趨于點(diǎn)a.（4）與（3）是同一函數(shù)。但既是（1）與ξ=g（x）的復(fù)合函數(shù)，又是（2）與ξ=g（x）的復(fù)合函數(shù)。看成后者恰好滿足連續(xù)地趨于點(diǎn)a這一條件。

因此，教學(xué)中證明的關(guān)鍵之一是（*）=.這點(diǎn)在國內(nèi)高等數(shù)學(xué)教材中都未作出解釋，但作者認(rèn)為很有必要。

參考文獻(xiàn)：

[1]高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第七版.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.北京：高等教育出版社，2014.07.

[2]婁喜娟.關(guān)于用變量代換求極限的教學(xué)點(diǎn)滴.邯鄲：邯鄲師專學(xué)報(bào)，1995.Z1.

作者簡介：

李持磊（1978.10～），男，漢族，籍貫：山東章丘，學(xué)歷：本科，畢業(yè)學(xué)校：吉林師范大學(xué)，職稱：助教，單位（學(xué)校）： 哈爾濱師范大學(xué)，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。endprint