變量代換法求極限及其幾點應用在教學中的淺析

【摘 要】變量代換是求函數極限的重要方法，然而在教學中往往一帶而過.本文首先闡述這一方法的理論依據及兩點補充，然后論述它在應用時的具體方法和詳細的推導過程。

【關鍵詞】變量；代換法；求極限

高等數學中變量代換法求極限的理論依據是復合函數的極限運算法則，詳見參考文獻[1]。

下面給出現有文獻中未提及的兩種情況。

定理1 設y=f [g（x）]由u=g（x）與y=f（u）復合而成，若，

.且存X0>0，時g（x）≠u0，則

證明：由于，，當0<

|u-u0|<η時，有|f（u）-A|<ε.又由于，對上述η>0，，當|x|>X1時，有|g（x）-u0|<η.由條件，存X0>0，時g（x）≠u0.取X=max（X0，X1），當|x|>X時，有0<|g（x）-u0|<η，從而|f[g（x）]-A|<ε，即

在應用時，要嚴格考察是否具備定理中所有條件，先看一個簡單例子：

例1 求極限

解：設，則，并且u≠0.目標函數為，并且.所以，

定理2：設y=f[g（x）]由n=g（x）與y=f（n）復合而成，其中n∈N +.若，則

證明：因為，所以對，，當n>N時，有|f（n）-a|<ε又，取G=N，，當x>X時，有g（x）>G=N.于是，對上述ε>0，，當x>X時，有|f（n）-a|<ε，即

此定理中，通過變量代換，將函數極限轉換成數列極限。下面用定理2證明第二重要極限.雖然文獻[1]中已經給出較詳細的證明，但在最關鍵一步邏輯上卻不清晰。

例2 證明.

證明：當x→+∞時，由[x] ≤ x ≤ [x]+1得作變量代換n=[x]，這里n∈N +，由定理2，

當x→+∞時，作變量代換u=-x，可得同樣的結果.下面用變量代換法證明反函數求導法則和洛必達法則。

例3 若x=f（y）在區間Iy內單調、可導且f?（y）≠0，則y=f -1（x）在區間Ix={x|x=f（y），y∈Iy}內也可導，且

證明：由題設，f -1（x）存在且單調、連續，任取x∈Ix，x取得增量，

待求函數為，作變量代換且?y≠0.?x=f（y+?y）

-f（y），于是

目標函數為，這里所用變量代換雖然抽象但還是可以用題設中函數表示的。

例4 若（1）；（2）在某存在且F?（x）≠0；（3）存在（或為∞）.則（或為∞）。

證明：f（a）=F（a）=0設，則f（x）與F（x）在某U（a）連續。任取，在[x，a]（或[a，x]）上應用柯西中值定理，有（記為（*）式）。此式中ξ介于a與x之間，不妨要求任一x對應唯一的ξ值.則相當于由柯西中值定理定義了x與ξ間的一個一元單值函數關系，設為ξ=g（x），并且.則（*）=，于是，待求函數是目標函數（）與ξ=g（x）的復合函數注釋[1]。從而

注釋[1]：（1）與（2）不是同一個函數，定義域不同。（1）的定義域包含于U°（a），且不能證明（1）中ξ連續地趨于點a.但定理1的條件按極限的定義，要求（4）式中ξ必須連續地趨于點a.（4）與（3）是同一函數。但既是（1）與ξ=g（x）的復合函數，又是（2）與ξ=g（x）的復合函數。看成后者恰好滿足連續地趨于點a這一條件。

因此，教學中證明的關鍵之一是（*）=.這點在國內高等數學教材中都未作出解釋，但作者認為很有必要。

參考文獻：

[1]高等數學上冊第七版.同濟大學數學系編.北京：高等教育出版社，2014.07.

[2]婁喜娟.關于用變量代換求極限的教學點滴.邯鄲：邯鄲師專學報，1995.Z1.

作者簡介：

李持磊（1978.10～），男，漢族，籍貫：山東章丘，學歷：本科，畢業學校：吉林師范大學，職稱：助教，單位（學校）： 哈爾濱師范大學，研究方向：基礎數學。endprint