圓錐曲線的有關問題

趙興婷

摘要：圓錐曲線是解析幾何的核心內容，本文簡單講述了圓錐曲線的定義，并對常在圓錐曲線中出現的問題進行了歸納和總結，他們分別是：在圓錐曲線中求動點的軌跡方程的常用方法：直接法、定義轉化法、特征幾何等式轉化法和參數法；直線和圓錐曲線的位置關系，根據聯立方程組解的狀況來確定直線和圓錐曲線的位置關系和利用韋達定理求解直線被圓錐曲線所截得的弦長和弦的中點坐標；在圓錐曲線的最值與定值問題中常常利用參數法、配方法、判別式法、不等式的性質以及三角函數的最值法求出最大值和最小值。通過本文的歸納總結使同學們對圓錐曲線的知識有個總體的、清晰的認識，在遇到有關圓錐曲線的問題時能夠思路清晰，解題時方法明確。

關鍵詞：圓錐曲線；定義；軌跡方程；位置關系；最值與定值

我們知道，如果用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，得到的截面是一個圓。而如果改變平面與圓錐軸線的夾角，則可以得到幾種不同類型的圖形，他們分別是橢圓、雙曲線和拋物線等。通常把橢圓、雙曲線和拋物線統稱為圓錐曲線。1

圓錐曲線的統一定義為：若平面內一動點M到一個定點F和一條定直線l的距離之比等于一個常數e（e>0），則動點的軌跡為圓錐曲線（Fl），其中定點F為焦點，定直線l為準線，e為離心率，

當0 當e=1時，軌跡為拋物線；

當e>1時，軌跡為雙曲線。2

在求解圓錐曲線問題的過程中，常會遇到一些求解動點的軌跡方程的問題，討論直線和圓錐曲線的位置關系問題以及在圓錐曲線中求解最值與定值問題。下面就分別對這些問題進行討論與總結。

一、在圓錐曲線中有關動點的軌跡方程的求解方法

某動點按照所給的條件運動就會形成某種軌跡，由于給定條件的種類不同，從而求軌跡方程的方法也不盡相同。

1.直接法 在有些求軌跡方程的問題中，動點所滿足的關系從題目條件中可以直接寫出。我們只要把這些關系直接用數學語言轉化成含有x，y的等式即可以得到動點的軌跡方程。由于該方法是根據題設條件直接求解出動點的軌跡方程的，所以稱它為直接法。

例1如果一個動點M與兩個定點A（-1，0），B（1，0）恰好組成一個三角形，在該三角形中∠AMB=π4，求動點M的軌跡方程是什么。

分析：由于∠AMB也是三角形的兩條邊MA與MB所在直線的夾角，所以可直接設出M點的坐標，然后代入夾角公式tanπ4=kMA-kMB1+kMA·kMB，并化簡即可。

解：設M點的坐標為（x，y），則kMA=yx+1，kMB=yx-1，

由tanπ4=kMA-kMB1+kMA·kMB有yx+1-yx-11+yx+1·yx-1=1，即x2+y2-1=±2y，所以點M的軌跡方程為：x2+（y-1）2=2或x2+（y+1）2=2

即M的軌跡是以（0，1）或（0，-1）為圓心，半徑為2的圓。

2.定義轉化法 如果根據題設條件可以直接獲知動點的運動軌跡正好滿足某個曲線的基本軌跡的定義，這時就可以直接依據此基本軌跡的相關定義求出該動點的軌跡。

例25（2005年山東省卷）已知動圓過定點（p2，0），且與直線x=-p2相切，其中p>0，求動圓圓心C的軌跡方程。

分析：令定點（p2，0）用F表示，則由動圓經過F點，又與直線x=-p2相切，可知動圓圓心C到定點F和到定直線x=-p2的距離相等。由拋物線的定義可知，動圓圓心C的軌跡是以F為焦點的拋物線，因此直接利用拋物線的知識即可求得。

解：過動圓圓心C作直線x=-p2的垂線，垂足為N.由題意有：CF=CN，即動點C到定點F與到定直線x=-p2的距離相等。由拋物線的定義知，點C的軌跡是以F為焦點，x=-p2為準線的拋物線，所以動圓圓心C的軌跡方程為y2=2px（p>0）。

簡評：直接利用圓錐曲線的定義列出所要求的軌跡方程的幾何條件。從幾何條件判斷軌跡方程的類型，然后直接代入即可。

3.特征等式轉化法 如果所求的動點可根據題設條件直接列出幾何等式，則設出動點的坐標，然后代入幾何等式中，再化簡，便可求出動點的軌跡方程。

例35（2007年北京卷）矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在的直線方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在的直線上，求：1）AD邊所在直線的方程；2）矩形ABCD外接圓的方程；3）若一個動圓過點N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。

分析：1）在矩形ABCD中，AD與AB垂直，所以由AB的直線方程即可求出AD所在直線的斜率，又過T（-1，1）點，因此由直線方程的點斜式便可求出直線方程。

2）M為矩形ABCD對角線的交點，即M為矩形的中心，從而M也為矩形ABCD外接圓的圓心，又M到頂點A的距離即為外接圓的半徑，代入圓的標準方程即可。

3）根據題意可得等式PM-22=PN，設出圓心P的坐標，用兩點間的距離公式，代入該等式即可求解。

解：1）因為AB邊所在的直線方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為-3，又因為點T（-1，1）在直線AD上，所以AD邊所在的直線方程為y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0；

2）由方程組x-3y-6=0

3x+y+2=0解得點A的坐標為（0，-2），

∵矩形ABCD的兩條對角線的交點為M（2，0），亦為矩形ABCD外接圓的圓心，

又AM=（2-0）2+（0+2）2=22，即外接圓的半徑為22，

∴矩形ABCD外接圓的方程為

（x-2）2+y2=8；

3）根據題意有等式

PM-22=PN，設P點坐標為（x，y），則：endprint

（x-2）2+y2-22=（x+2）2+y2，

化簡后得：x22-y22=1（x≤-2），

所以該動圓的圓心P的軌跡為雙曲線的左支。

簡評：此例利用兩圓外切及過定點的等量關系得出軌跡的幾何關系，設出坐標，直接代入幾何公式即可。

4.參數法 在某些時候動點的運動會因為另一個變量的運動變化而受到約束，也就是說動點坐標（x，y）中的x，y的大小分別隨著另一變量的變化而發生變化，這樣的一個變量我們把它叫做參數。建立軌跡的參數方程，最終只要消去其中的參數即可得到所要求的動點的軌跡方程，這種方法就叫做參數法。

例4已知某線段AB的長度為2，P點把線段AB分為AP：PB=3：1的兩部分。如果點A在y軸上運動，點B在x軸上運動，則動點P的軌跡方程是什么？

分析：由于AB的長度確定，A、B分別在兩坐標軸上運動，P點的位置隨著AB與x軸夾角的變化而變化，因此可以選擇這個角為參數建立軌跡的參數方程。

解：設動點P的坐標為P（x，y），線段AB和x軸的夾角為θ，其中θ≤π2，令點A在y軸正半軸上，點B在x軸正半軸上，則θ即為線段AB與x軸負向組成的角。作PM⊥x軸，垂足為M，PN⊥y軸，垂足為N，

∵AB=2，APPB=31

∴AP=34×2=32，PB=14×2=12

∴動點P的參數方程為x=32cosθ

y=12sinθ（其中θ為參數），

由三角等式cos2θ+sin2=1，消去參數θ，有 （2x3）2+（2y）2=1，

即：x294+y214=1，為所求的軌跡方程，該軌跡為以（2，0）（-2，0）為焦點的橢圓。

二、直線和圓錐曲線兩者的位置關系

在同一個平面上，直線與圓錐曲線或者相交、或者相切或者相離。如何能夠準確地確定直線和圓錐曲線是相交、相切、還是相離以及如果直線與圓錐曲線相交，那么直線被圓錐曲線所截得的弦長和弦的中點坐標又分別是多少，這是解析幾何中的重點和難點。

1.能夠利用直線和圓錐曲線的聯立方程組解的狀況來準確的判斷直線與圓錐曲線的位置關系 解決這樣的問題通常都是先將直線方程和圓錐曲線的方程結合起來，形成一個二元二次方程組，消去y（或x）后，得到一個一元二次方程。然后判斷此一元二次方程的根的情況，即判斷判別式Δ的值。當Δ>0時，直線與圓錐曲線相交；當Δ=0時，直線與圓錐曲線相切；當Δ<0時，直線與圓錐曲線相互遠離。當然在消去y（或x）后，有時會得到一元一次方程，這時根據具體的情況進行判斷直線和圓錐曲線的位置關系。

例52試確定實數k的不同取值，討論直線y=k（x+1）與雙曲線x2-4y2=4的公共點的個數。

解：由方程組y=k（x+1）

x2-4y2=4消去y，得

（1-4k2）x2-8k2x-4k2-4=0，

當1-4k2=0，即k=±12時，直線方程為y=±12（x+1），

而對于雙曲線x24-y2=1，其漸近線的方程為y=±12x，

可見直線y=±12（x+1）分別于雙曲線的漸近線平行，

所以，此時直線和雙曲線分別只有一個公共點；

當1-4k2≠0時，

Δ=（-8k2）2-4（1-4k2）（-4k2-4）=16（1-3k2），

若1-4k2≠0

1-3k2=0，即k=±33時，直線y=±33（x+1）分別與雙曲線只有一個公共點；

若1-4k2≠0

1-3k2>0，即k∈（-33，33）且k≠±12時，直線與雙曲線有兩個公共點；

若1-4k2≠0

1-3k2<0，即k>33或k<-33時，直線與雙曲線沒有公共點。

2.求圓錐曲線截直線所得到的弦的長度以及其中點坐標 當直線和圓錐曲線相交時，直線會被圓錐曲線截去部分線段，這部分線段就叫做圓錐曲線的弦，弦的長度和中點坐標的求解在圓錐曲線的題目中也是比較常見的。在解決這類問題時，韋達定理使問題簡化了不少。如當直線的方程為y=kx+b時，弦的中點坐標（x，y）為

x=x1+x22，y=y1+y22=kx1+b+kx2+b2=k（x1+x2）+2b2

即為（x，y）=（x1+x22，k（x1+x2）+2b2）；

弦長為：

（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1+x2）2-4x1x2

（其中x1，x2分別為直線和圓錐曲線的聯立方程組消去y后所得的方程的根，y1，y2分別x1，x2代入直線方程后的值）。

例6一條斜率為3的直線經過橢圓x25+y24=1的左焦點F1，與橢圓相交于A、B兩點，求弦AB的長。

解：由已知條件有a2=5，b2=4，則c=5-4=1，即左焦點F1的坐標為（-1，0），

根據題意，可以設AB所在的直線方程為：y=3x+m，又直線經過點（-1，0），所以有0=-3+m，即m=3所以直線方程為y=3x+3

因此，由方程組y=3x+3

x25+y24=1，有49x2+90x+25=0，即

x1+x2=-9049，x1x2=2549，

代入弦長公式得，

AB=（1+32）（-9049）2-4×2549=40249

三、在圓錐曲線中，求最大值、最小值與定值的有關問題

在一些有關圓錐曲線的問題中，有的量和參數的大小沒有關系，這就構成了定值問題，解決這類問題常常通過取特殊值來確定“定值”是多少，或者將在該問題中涉及到的幾何式子轉化為代數式或者三角式，再證明此式是恒定的。endprint

在圓錐曲線中還常出現另一類問題，即最值問題，解決此類問題的一般步驟是先根據已知條件列出所要求的目標函數的代數關系式，然后再根據函數關系式的特征選用適當的方法（配方法、判別式法、不等式的性質等）求出它的最值。

例72F1，F2是橢圓的兩個焦點，M是與F1，F2非共線的橢圓上的點，設I為ΔABC的內心，延長MI與F1F2交與N，求證MINI為定值。

解：先取點M在y軸上，易得：MINI=ac；

當M為橢圓上任意一點時，連接F1、I交MF2于Q，設

MF2=x，MF1=2

∵F1NNF2=MF1MF2=2a-xx

F1NNF1+NF2=F1MMF1+MF2=2a-xx

∴F1N=ca（2a-x）

∴在ΔMF1N中， MINI=MF1NF1=2a-xca（2a-x）=ac為定值。

例8已知某曲線C：x2-y2=a（x>0），其中a>0且為常數，如果A、B是C上兩個不同的點，O是坐標原點，求OA·OB的最小值。

解：設A、B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

當AB⊥x軸時，則：x1=x2，y1=-y2，所以：OA·OB=x1x2+y1y2=x21-y21=a為定值；

設當直線AB與x軸不垂直時AB的方程為y=kx+m，

則由直線AB與曲線C相交有y=kx+m

x2-y2=a，即

（1-k2）x2-2kmx-m2-a=0（1-k2≠0）

故：x1+x2=2km1-k2，x1x2=m2+ak2-1，

OA·OB=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）

=（1+k2）（m2+a）k2-1+2k2m21-k2+m2

=a+2ak2-1

∵x1x2>0，∴k2-1>0 ∴OA·OB>a.

綜上所述，可知OA·OB≥a，

因此，OA·OB的最小值為a.

四、結語

圓錐曲線一直以來都是高中知識中的重點和難點，在高考中常常受到出題者的親睞，常考的知識點大致也就是本文中闡述的幾類問題，即求解軌跡方程，直線和圓錐曲線的位置關系以及求證定值和求解最值問題。由于圓錐曲線的知識繁多復雜，在解決這些問題時要注意合適方法的選擇，注意思維的嚴謹性及分類討論思想的運用。

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（作者單位：安徽省阜陽師范學院附屬中學 236000）endprint