解析幾何題的解題法寶—數形結合

衡飛

摘要：數形結合思想是中學到高等數學解題中極其重要的解題方法，數形結合思想是解決解析幾何題的法寶， 數學問題的解決中起著關鍵作用。數形結合思想是提高學生分析問題、解決問題的能力，美國著名數學教育家波利亞說過：“掌握數學就意味著要善于解題。”只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。中、高考試題十分重視對于數學思想方法的考查，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法。因此本文中我主要從2017年數學高考題第15題的三種解法入手，展示數形結合的主要解題方法與妙解。

關鍵詞：數形結合；思想方法

2017年全國高考數學卷（Ι）第15題

15已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點.若∠MAN=60°，則C的離心率為.

解法一：如圖所示，作AP⊥MN，因為圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點，則MN為雙曲線的漸近線y=bax上的點，且A（a，0），|AM|=|AN|=b，而AP⊥MN，所以∠PAN=30°，點A（a，0）到直線y=bax的距離|AP|=|b|1+b2a2，在Rt△PAN中，cos∠PAN=|PA||NA|，代入計算得a2=3b2，即a=3b，由c2=a2+b2得c=2b，所以e=ca=2b3b=233.

【考點】雙曲線的簡單幾何性質

雙曲線漸近線是其獨有的性質，所以有關漸近線問題備受出題者的青睞.做好這一類問題要抓住以下重點：①求解漸近線，直接把雙曲線后面的1換成0即可；②雙曲線的焦點到漸近線的距離是b；③雙曲線的頂點到漸近線的距離是abc.以上是網上給的解析答案，筆者仍然利用數形結合的思想給出另外兩種解法。

解法二：雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的右頂點為A（a，0），

以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點。

若∠MAN=60°，可得A到漸近線bx+ay=0的距離為：bcos300=32b，

可得：aba2+b2=32b，即ac =32，可得離心率為：e=233

故答案為：233

解法三：由于AM的長為等于雙曲線的虛半軸b，OA為實半軸c， AM垂直x軸，OM為半焦距c.ΔAMN為等邊三角形，∠AMN=600，所以∠AOM=300，可得離心率為：e=ca=cos300=233

解法三巧妙的利用雙曲線圖形的特征，解法使得相當簡單，幾乎可以口算答案在高中數學的教學過程當中，數形結合方法貫穿整個教學的始終。而 數形結合方法實質上就是按照數據和圖形之間的對應關系，將比較抽象的語言，通過圖形表達出來，或者是將圖形用數學語言表達出來。在高中數學的某些問題的解 題過程當中，通過應用數形結合思想，會使問題變得更加的簡單化、直觀化，開拓了學生的解題思路，使學生能夠對一些比較難的問題也有了解題思路。因此，在高 中數學的教學過程當中，要積極培養學生在這方面的能力，將數形結合思想真正的應用到答題當中。

（作者單位：安徽省滁州市鳳陽中學 233100）endprint