談重視數學教學過程的設計與思考

鄒宇

[摘 要] 數學教學不能僅僅重視技巧、方法，也要重視教學過程中的問題，從這些問題中尋找學生的薄弱之處是教學更為有效的地方，因此數學教學需要重視過程的反思.

[關鍵詞] 數學；教學；過程；設計；思考；直線；橢圓

課堂作為“課改”的主戰場是師生知識交流、思想碰撞的前沿陣地；是學生知識結構重建和升華、形成數學思想方法的最佳時機；是教師專業成長、教學理論水平提高、指導數學教學改革、推進數學新課程實施的最佳平臺. 教師對教學的要求隨著教齡的增加應該不斷完善，從初級時的“如何上好課”到中級時的“如何做最好的老師”，到高級時的“如何教教材、回顧教學初心”等，都是值得教師深深思考的問題.在這美好的愿境面前，給我們教育工作者帶來了新的機遇和挑戰，也提出了更高的要求，尤其是時下暴露出的一些問題和不足，這就更需要我們教育工作者從日常的教學工作入手反思.

[?] 提出問題

在教學過程中，不少教師有這樣的困惑：數學試題講了很多，同樣的類型講了多遍，可是學生的數學行為習慣、數學思想方法、數學思維品質以及由此綜合而成的整體能力就是得不到提高！也常聽見學生有這樣的埋怨：上課老師講的內容都聽懂了，可是課后遇到類似的題型，只記得講過，但具體的解決方法就不清楚了；類似的問題重復訓練，但是成績的提高卻依舊緩慢！筆者認為，這就是教學不得法的體現，歸根到底教學仍舊是從教師的眼中去分析的，沒有從學生的視角想一想. 因此，筆者從學生的角度分析了成因以及解決的一些策略，再結合教師的角度分析，與同行探討交流.

[?] 設計思考

眾所周知，構成一堂課最基本的三要素是教師、教材、學生. 他們是相互融合的整體，既有一定的矛盾也有一定的共性. 它們之間的關系是充斥著矛盾的三角形的三個頂點，而整個課堂教學就是要將相互矛盾的三者有機地融合在一起.對于教師的矛盾主要體現在是否認真地鉆研教材，能否駕馭教材，在自己具有創造性的努力之后，逐步地、有層次地、循序漸進地傳授給學生. 所以第一項重要的工作就是在備課之前仔細認真地鉆研教材，分析學科的基本結構.

布魯納認為：學科的基本結構是指學科的基本概念、基本原理、基本方法和它們之間的聯系. 比如高二開設的解析幾何，它是用代數的方法研究幾何問題的一個數學模塊.它的基本結構如下：

基本概念：曲線的方程與方程的曲線.

基本原理：用代數的方法研究幾何問題.

基本思想：數型結合與動態的觀點.曲線可以看成是具有某種特性的動點的軌跡——方程；同樣通過方程可以研究曲線的某些特性.

基本方法：解析法.

基本聯系：點與實數對，曲線與方程的聯系.

我們認真地研究了學科的基本結構，才能了解這一模塊的特點和知識的本質以及它的發生、發展、演變的內在規律.這樣我們才能很好地把握教材，才能制定明確的課堂教學目標.

1. 步驟一：《直線和圓錐曲線》位置關系理論過程設計

高二解析幾何中的直線與圓錐曲線的位置關系是該模塊知識的重點和難點，同樣也是系統很強的內容，當然也是高考的重點和熱點. 其中直線與雙曲線的位置關系尤為復雜. 因為學生在學習這部分內容的時候已經學習了直線與橢圓的位置關系，所以對這塊內容不是很陌生，但也只是一個初步. 為了在學生已有的知識結構上更好地將這部分內容條理化、系統化，為了強化基本原理和基本的思想，為了培養學生對這塊內容的學習興趣和積極性，可以制定如下的教學目標：

（1）知識與技能

第一，經歷直線與橢圓的位置關系以及位置關系的判定，培養學生的觀察能力和分析能力；

第二，通過對直線與雙曲線的位置關系以及判定的探討，培養學生嚴謹求實的理性精神，掌握直線與雙曲線的位置的判定方法.

（2）過程與方法

第一，類比直線與橢圓的位置關系以及判定引申到直線與雙曲線；

第二，充分再現用代數的方法研究幾何問題的基本原理；

第三，探索直線與雙曲線的位置的判定的特殊性（由雙曲線本身所引起的特殊性）.

（3）情感態度與價值觀

明確了任務和目標后，可以根據學生的年齡特點、心理特征創設貼近生活的鮮活的情景，使學生身臨其境；通過分層問題逐步引領學生親身經歷知識的發展歷程；同步配以結合學生實際制作的多媒體演示、模型實物演示等多種視聽媒介，全面激活非智力因素的能動作業，加強學生主體學習的動力系統.

2. 步驟二：《直線和圓錐曲線》位置關系具體教學實施

課堂教學的目標是落實雙基，提升學生的數學思維品質. 在落實雙基時應該適當地減緩知識架構的“坡度”，讓學生有足夠的思維空間將知識科學、和諧、穩定地建構到原有的知識鏈中，而且更有廣闊的再建空間. 但是這樣的平衡在建立之初是很脆弱的，最容易被打破，所以應該加以強化.

知識回顧——直線與橢圓的位置的關系：

研究橢圓+=1和直線y=kx-3的位置關系需要兩方程聯立后得一元二次方程（3+4k2）x2-24kx+24=0，以一元二次方程根的判別式為載體，通過研究方程根的個數來求得直線與橢圓的公共點的個數，最終實現對直線與橢圓的位置關系的判定. 此時學生原有知識已經激活，是接納相關知識的最佳時機.

緊接著設計一個探索：將橢圓方程+=1變成雙曲線方程-=1.

探索——直線與雙曲線的位置的關系：

學生甲：兩方程聯立后得方程（3-4k2）x2+24kx-48=0.

學生乙：聯立后兩個方程不一樣了.（通過觀察已經發現了區別）

教師：對判斷位置關系有影響嗎？（引導到課堂的重點）

學生丙：有. 當二次項系數為0時，Δ不適用了. （運用已有的知識）

教師：那該怎么辦？（給予肯定，繼續讓他回答）

學生丙：可以分二次項系數為0和不為0兩類. （運用分類討論思想）

（1）若k=時，直線方程變為y=x-3，與漸近線平行.

（2）若k=-時，直線方程變為y=-x-3，與漸近線平行.

（在學生回答的過程中配以圖像的演示，加強學生的印象，同時也發現此時直線與雙曲線只有一個公共點，且為交點.）

（3）若k2≠，則只需判斷判別式的符號即可.

第一，當Δ>0時，方程有兩個不同的解——相交.

第二，當Δ=0時，方程有兩個相同的解——相切.

第三，當Δ<0時，方程沒有解——相離.

思考：通過這個簡單環節的設計，不僅激活了學生原有的直線與橢圓的位置關系以及判定的知識，學生也抓住了“+”到“-”變化帶來的區別，經歷了橢圓與雙曲線的類比學習，知識的遷移顯得比較自然，同樣也激起了學生再學習的興趣.另一方面，鞏固了研究直線與圓錐曲線位置關系的方法，加強了對該模塊知識建構的強度，還抓住了雙曲線的特殊性（與漸近線平行的直線與雙曲線有一個交點），實現了課堂重難點的分解分層實施，降低了“坡度”，但沒有降低難度.學生不僅領悟、內化了橢圓與雙曲線的共性，同時也分辨抽象出了雙曲線的個性，提升了學生的思維品質，符合知識的發展過程以及學生的認知規律.

時代在發展，教師也應該與時俱進地不斷提升自己的綜合實力，課堂教學的設計和思考是一條強有力的途徑，也是我們自我價值實現和得到認可的一條有效途徑. 當然另一方面，通過教師對教育心理學理論的再學習——領悟、吸收、內化、升華——并以個體積極探索和創造性的行動所形成的具有極強操作性的理論或模式為指導，從學生的知識水平和認知規律出發，反思自己的教學行為——深入研究教材，探討教學方式方法，創造性地設計教學情景，深入淺出，層層推進，最大化地激活學生學習的思想火花和靈感，提高學生的數學素養和思維品質，提升教師自己對課堂設計的掌控能力和教學的思考能力.