有效點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)課堂生成智慧的金鑰匙

石高安

[摘 要] 學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：由于思維受阻，一時(shí)難以下手. 這樣，需要教師用簡(jiǎn)練、精辟的語(yǔ)言啟迪思維，促使學(xué)生產(chǎn)生“頓悟”，謂之“點(diǎn)撥”. 有效的“點(diǎn)撥”必須做到適時(shí)、適度、靈活且富有啟迪. 如何實(shí)行有效“點(diǎn)撥”呢？筆者的思考是點(diǎn)撥難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生攻克疑難；點(diǎn)撥方法，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三；點(diǎn)撥思路，引導(dǎo)學(xué)生反思探究，由此啟動(dòng)學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中生成智慧.

[關(guān)鍵詞] 點(diǎn)撥；難點(diǎn)；方法；思路；智慧

豈知灌頂有醍醐，能使清涼頭不熱.

——唐·顧況《行路難》

學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：解答一個(gè)數(shù)學(xué)題，由于各種各樣的原因?qū)е滤季S受阻，一時(shí)難以下手. 有的問(wèn)題對(duì)于有的學(xué)生可能會(huì)突發(fā)靈感，產(chǎn)生“頓悟”，使得問(wèn)題得以迅速解決，但更多的問(wèn)題對(duì)于更多的學(xué)生，需要數(shù)學(xué)教師用簡(jiǎn)練、精辟的語(yǔ)言來(lái)啟迪思維，促使學(xué)生產(chǎn)生“頓悟”，這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)教學(xué)中常講的“點(diǎn)撥”. “點(diǎn)撥”是教師讓學(xué)生走出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困惑的有效手段，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種藝術(shù). 一個(gè)數(shù)學(xué)教師行之有效的“點(diǎn)撥”，既要做到適時(shí)、適度，同時(shí)也要做到靈活且富有啟迪. 然而，在我們數(shù)學(xué)教師中，有一部分教師追求方法的新穎，但不注意實(shí)際成效，如有的教師采用提問(wèn)法的，有問(wèn)有答，上下呼應(yīng)；有的教師采用討論法的，學(xué)生發(fā)言爭(zhēng)先恐后，課堂熱熱鬧鬧，氣氛十分活躍. 由于學(xué)生之間交流的信息零碎并且量大，將教師向?qū)W生輸入的系統(tǒng)的信息淹沒(méi)了，因此，多數(shù)學(xué)生收獲甚少. 如何實(shí)行有效“點(diǎn)撥”呢？筆者所思考的是點(diǎn)撥難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生攻克疑難；點(diǎn)撥方法，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三；點(diǎn)撥思路，引導(dǎo)學(xué)生反思探究. 由此啟動(dòng)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中生成智慧.

[?] 有效點(diǎn)撥難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生攻克疑難，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂生成智慧

數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)難于掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，也包括數(shù)學(xué)思想方法等，這是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)水平與抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的矛盾. 數(shù)學(xué)教師分析學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)在何處，研究其形成的原因，從而有針對(duì)性地進(jìn)行點(diǎn)撥，可以起到化難為易的作用.

案例1：一位教師關(guān)于求與一元二次方程有關(guān)的最值題的點(diǎn)撥.

已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程4x2+4kx+k+2=0的兩個(gè)實(shí)根，若m2+n2能夠取得最小值，求實(shí)數(shù)k的值，并求此時(shí)的最小值.

教師首先給學(xué)生自主解答，然后讓學(xué)生展示.

生：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：m+n=-k，mn=，所以m2+n2=（m+n）2-2mn=（-k）2-=

k-2-. 當(dāng)k=時(shí)，m2+n2取得最小值-.

師：這個(gè)結(jié)果錯(cuò)了.

生（很驚呀地）：在哪里發(fā)生錯(cuò)誤呢？

面對(duì)一個(gè)個(gè)學(xué)生的驚奇，這位教師并沒(méi)有及時(shí)去挑明，而是想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生自我反思、自我發(fā)現(xiàn).

師：m2+n2的值與k的取值是否有關(guān)系？k的不同取值對(duì)這個(gè)一元二次方程是否有實(shí)根產(chǎn)生怎樣的影響？

學(xué)生經(jīng)教師這一點(diǎn)撥，茅塞頓開(kāi)，馬上發(fā)現(xiàn)了自己錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有考慮m，n是方程實(shí)數(shù)根這一隱含條件， 必須有Δ≥0，從而得16k2-16（k+2）≥0，即k≤-1或k≥2，因此k≠. 正確的結(jié)果是當(dāng)k=-1時(shí)，m2+n2的最小值為.

[?] 有效點(diǎn)撥方法，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂生成智慧

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要堅(jiān)持以人為本，以學(xué)生的發(fā)展為本，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展. 不同的學(xué)生，其接收、領(lǐng)悟能力有強(qiáng)有弱，數(shù)學(xué)教師在點(diǎn)撥時(shí)必須做到“四性”：一是點(diǎn)撥要循序漸進(jìn)，應(yīng)由淺入深，體現(xiàn)漸進(jìn)性；二是點(diǎn)撥既要照顧到全體，又要照顧到個(gè)別，讓優(yōu)等生“吃飽”，讓中差生“吃好”，體現(xiàn)層次性；三是點(diǎn)撥要讓學(xué)生積極思維，而不是生硬說(shuō)教，體現(xiàn)啟發(fā)性；四是點(diǎn)撥要簡(jiǎn)明準(zhǔn)確，讓它起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用，體現(xiàn)明確性. 點(diǎn)撥恰當(dāng)，學(xué)生才能學(xué)得生動(dòng)，教師教得輕松，教學(xué)質(zhì)量大面積提高.

案例2：一位教師關(guān)于一道數(shù)列題的求解點(diǎn)撥.

已知等差數(shù)列{an}中，a3=5，a8=20，求a20.

一部分學(xué)生特別是一部分女學(xué)生往往根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解：根據(jù)題意，得a1+2d=5，

a1+7d=20，解得a1=-1，

d=3，所以a20=a1+19d=-1+19×3=56.

這一部分學(xué)生解完后，挺有成就感，就等待數(shù)學(xué)教師出下一題. 因此，數(shù)學(xué)教師適時(shí)點(diǎn)撥：

師：剛才在下面巡視時(shí)，有同學(xué)告訴我此解法有些繁，請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家幌拢袥](méi)有簡(jiǎn)單方法解這道題？

一石激起千層浪，學(xué)生們一個(gè)個(gè)探究起來(lái)，有的合作學(xué)習(xí)小組竊竊私語(yǔ)，可是還有一些學(xué)生想不出更好的方法，教師進(jìn)一步點(diǎn)撥.

師：我們能不能用函數(shù)方程的思想來(lái)觀察、研究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？

生：噢！我知道了，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是關(guān)于項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù)……

于是，學(xué)生得到解法2：

設(shè)an=αn+β. 依題意，得3α+β=5，

8α+β=20.解得α=3，

β=20.所以an=3n-4，所以a20=3×20-4=56.

對(duì)于學(xué)生得到的解法2，教師給予了肯定與激勵(lì). 此時(shí)，另一位學(xué)生提出，解法2與前面一種方法比較，未見(jiàn)得簡(jiǎn)單多少，為此，教師繼續(xù)點(diǎn)撥.

師：在研究等差數(shù)列性質(zhì)時(shí)，得到一個(gè)求等差數(shù)列公差的公式d=，請(qǐng)大家再思考一下，能不能從這里入手，探討一下解法3.

許多學(xué)生經(jīng)過(guò)一番討論，探究得到下面的解法：

d==3，所以a20=a8+（20-8）d=56.

其實(shí)，解法3，對(duì)心算能力強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，不用筆算也可以得到答案.

最后，數(shù)學(xué)教師作評(píng)價(jià)性點(diǎn)撥：

師：第一種解法雖然有些繁，但這是通法，屬于基本能力要求；第二種解法的思維較靈活，體現(xiàn)的是函數(shù)思想求解，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握與應(yīng)用；第三種解法必須對(duì)等差數(shù)列的性質(zhì)掌握得比較好，此種解法，對(duì)心算能力強(qiáng)的學(xué)生不用筆算也可以得到答案，屬于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.

案例3：已知點(diǎn)M在拋物線y2=px上，且M到A（4，2）的距離與M到x軸的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

不少學(xué)生易設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），再做下去一部分學(xué)生感到茫然，一些合作小組也解決不了. 這時(shí)教師可點(diǎn)撥：透過(guò)“點(diǎn)M到x軸的距離”這個(gè)現(xiàn)象，看到“點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離”這個(gè)本質(zhì)，由拋物線的定義，可知M到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，到此學(xué)生茅塞頓開(kāi).

[?] 有效點(diǎn)撥思路，引導(dǎo)學(xué)生反思探究，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂生成智慧

很多時(shí)候，面對(duì)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，不少學(xué)生只會(huì)簡(jiǎn)單地通過(guò)模仿例題來(lái)運(yùn)用定理、法則與公式，而當(dāng)問(wèn)題的條件發(fā)生變化時(shí)，就不懂得變通. 故在數(shù)學(xué)課堂上，教師可在引申變換（變式）、數(shù)學(xué)思想、方法、技巧上加以點(diǎn)撥，通過(guò)借題發(fā)揮，由此及彼，由表及里，舉一反三，就會(huì)事半功倍，這樣能起到促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散、創(chuàng)新的作用.

案例4：一位教師關(guān)于恒成立及有解問(wèn)題的教學(xué)變式點(diǎn)撥.

已知函數(shù)f（x）=8x2+16x+p，g（x）=2x3+5x2+4x（其中p∈R）.對(duì)?x∈[-3，3]，都有f（x）≤f（x）成立，求p的取值范圍.

師生討論分析得到解法：

令h（x）=g（x）- f（x）=2x3-3x2-12x-p，問(wèn)題轉(zhuǎn)換為x∈[-3，3]時(shí)，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0，m≤-45.

平時(shí)，不少學(xué)生做這一類恒成立題，常常與存在類問(wèn)題和最大值、最小值混淆不清，為此，這位教師對(duì)題目作了這樣的變式點(diǎn)撥：

師：若“對(duì)?x∈[-3，3]”改成“?x∈[-3，3]”，其余不變，如何求p的取值范圍？

師生再討論分析得到解法：

轉(zhuǎn)化為x∈[-3，3]時(shí)，h（x）≥0有解，故h（x）max≥0，m≤7.

師：若“對(duì)?x∈[-3，3]”改成“對(duì)?x1，x2∈[-3，3]”，其余條件不變，如何求p的取值范圍？

師生討論分析得到解法：轉(zhuǎn)化為x∈[-3，3]時(shí)， f（x）max≤g（x）min?120+p≤-21?p≤-141.

數(shù)學(xué)教師在以上數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)點(diǎn)撥中，針對(duì)一些似是而非的問(wèn)題，編擬變式題組進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，讓學(xué)生真正弄懂這些形同質(zhì)異、形異質(zhì)同題的解答思路與方法，喚醒那些學(xué)困生的創(chuàng)造思維與求知欲，以發(fā)揮變式題組的教育功效.

“點(diǎn)撥”，“點(diǎn)”就要一“點(diǎn)”就通，就是要點(diǎn)石成金；“撥”就要撥除故障，撥暗為明，撥云見(jiàn)日. 點(diǎn)撥既是一種方法、一種策略，更是一種理念、一門(mén)藝術(shù). 在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師智慧的點(diǎn)撥引導(dǎo)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生疑竇大開(kāi)、智慧閃爍，讓數(shù)學(xué)課堂充滿生機(jī)與活力.