LINGO軟件在線性規劃案例教學中的應用

梁彩霞

【摘 要】針對線性規劃學習的特點，結合具體案例，說明了在線性規劃案例教學中借助LINGO軟件可省去繁瑣的計算，提高學習效率。

【關鍵詞】LINGO；線性規劃；案例教學

0 引言

運籌學是近幾十年發展起來的一門新興學科。它是用數學方法研究各種系統最優化的學科。應用運籌學的目的是通過求解系統最優化問題，從而為決策者制定合理運用人力、物力、財力的最優方案[1]。運籌學已廣泛應用于工業、農業、交通運輸等各個領域。線性規劃作為運籌學的一個重要分支，是研究最早、理論較完善、應用最廣泛的一個學科。它所研究的問題主要包括兩個方面：一是如何以最低的成本去完成一項確定的任務；二是如何在現有資源條件下進行組織和安排，以產生最大收益。線性規劃不僅僅是一種數學理論和方法，而且已成為現代管理工作中幫助管理者作出科學決策的重要手段[2]。

傳統的重理論輕實踐的課堂教學，使得運籌學這門原本源于應用的科學又遠離了應用。由于教學中脫離了具體的情景，大部分學生在學完了線性規劃這部分內容后，印象就是單純形法很復雜，對偶理論很抽象，遇到具體的問題時都不知該如何“運籌”。采用案例教學以強化實踐教學，是當下教學改革的一個重要方向。由于實際案例規模較大，計算量大且繁瑣且學生計算機編程能力不強，在案例教學可采用運籌學軟件輔助教學。

1 LINGO軟件簡介

目前常用的運籌學軟件有LINGO/LINDO，WINQSB、MATLAB、EXCEL 等。LINGO軟件是美國的LINDO系統公司（Lindo System Inc）開發的一套用于求解最優化問題的軟件包，可用于求解線性規劃、二次規劃和非線性規劃等問題。由于其輸入模型簡練直觀；執行速度快，計算能力強；內置建模語言，對編程能力要求不高，便于掌握等優點，深受用戶歡迎[1]。

2 案例分析

由于學生在學習線性規劃時，普遍感覺公式多，定理多，運算復雜，不能很好地運用線性規劃和對偶理論來分析、解決實際問題。下面結合具體案例，說明線性規劃及相關知識在解決實際問題時的應用。

案例1[3]某公司正在制造兩種產品，產品I和產品Ⅱ，每天的產量分別是30個和120個，利潤分別為500元/個，和400元/個，公司負責制造的副總經理希望了解是否可以通過改變這兩種產品的數量而提高公司的利潤。公司各個車間的加工能力和制造單位產品所需要的加工工時，如1表所示。

（1）假定生產的全部產品都能銷售出去，確定使得總利潤最大的生產方案。

（2）在（1）所求得的最優產品組合中.在四個車間中哪些車間的能力還有剩余？剩余多少？這在線性規劃中稱為剩余變量還是輪弛變量？

（3）四個車間能力的對偶價格各為多少？即四個車間的加工能力分別增加一個加工工時數時能給公司能帶來多少額外的利潤

（4）當產品I的利潤不變時，產品Ⅱ的利潤在什女范圍內變化，此最優解不變？當產品Ⅱ的利潤不變時，產品I的利潤在什么范圍內變化時，此最優解不變？

（5）當產品I的利潤從500元降為400元，產品Ⅱ的利潤從400元增加為430元時，原來的最優產品組合是否還是最優產品組合？如有變化，新的最優產品組合是什么？

上述案例是一個非常典型的企業的生產管理案例。如果單純用人工計算來分析這個案例，計算非常繁雜，不僅耗時，而且很容易因計算錯誤得出錯誤結論。引入LINGO軟件來幫助進行案例分析，則起到事半功倍的效果。

根據題意，假設制造產品1、產品2的數量分別為x1、x2，在LINGO模型窗口中輸入模型如圖1所示：

從LINGO菜單中選擇Solve按鈕，得

在求解該模型之后，可進一步激活靈敏度分析功能，對模型進行靈敏度分析。激活靈敏度分析的方法有兩種，一是運行工具欄中依次選擇LINGO—options—General Solver—Dual Com-putations—Prices&Ranges；二是在Window|Command Window窗口中輸入“：range”。靈敏度分析結果如圖3所示。

結合線性規劃求解結果和靈敏度分析結果，即可解答案例1中的5個問題。

（1）圖2的報告說明：運行1步找到全局最優解，目標函數值為103000，變量值分別為x1=150，x2=70。即制造產品I150個，產品Ⅱ70個為最優生產方案，此時可獲得最大利潤103000元。

（2）“Row”是輸入模型中的行號，目標函數是第一行；“Slack or Surplus”的意思是松弛或剩余，即約束條件左邊與右邊的差值，對于“？燮”的不等式，右邊減左邊的差值為Slack（松弛），對于“？叟”的不等式，左邊減的右邊差值為Surplus（剩余），當約束條件兩邊相等時，松弛或剩余的值等于零。由圖2報告中Row2、 Row4的“Slack or Surplus”均為0，，表明制造產品I150個，產品Ⅱ70個市，車間1、車間3的生產能力已經飽和；報告中Row3、 Row5的“Slack or Surplus”分別為“330，15”，，表明制造產品I150個，產品Ⅱ70個時，車間2、車間4的生產能力分別剩余330小時和15小時，是松弛變量。

（3）“Dual Price”的意思是對偶價格，由圖2的求解結果表明，四個車間的對偶價格分別為50，0，200，0。即四個車間的加工能力分別增加一個加工工時數時能給公司能帶來額外利潤分別是50元，0元，200元，0元。

（4）靈敏度分析報告表明，當產品I的利潤不變時，要使最優解不變，產品Ⅱ的利潤允許增加量（Allowable Increase）為100，允許減少量（Allowable Decrease）為400，從而有產品Ⅱ的利潤應在（400-400，400+100）內變化；同樣可得，當產品Ⅱ的利潤不變時，產品I的利潤在（400，+∞）范圍內變化時，此最優解不變。

（5）LINGO中線性規劃的靈敏度分析結果都是基于“其他系數保持不變，只有一個系數發生變化”這樣一個重要假設的。兩個價值系數同時變化的情況可在LINGO的靈敏度分析的基礎上，用百分之一百法則[3]進行分析。當產品I的利潤從500元降為400元，產品Ⅱ的利潤從400元增加為430元時，經計算，得c1的允許減少百分比為：×100%=25%；c2的允許增加百分比為：×100%=43%。25%+43%=68%<100%，故原來的最優產品組合是否還是最優產品組合。

3 結語

在線性規劃的案例教學中應用LINGO軟件，能把師生從繁瑣的數學運算中解放出來，有效激發學生的學習興趣，提高學習效率。

【參考文獻】

[1]陳華友.運籌學[M].北京：人民郵電出版社，2015.

[2]焦寶聰，陳蘭平.運籌學的思想方法及應用[M].北京，北京大學出版社，2007.

[3]韓伯棠.管理運籌學[M].四版.北京，高等教育出版社，2015.

[責任編輯：田吉捷]endprint