在探索規律中發展學生的合情推理能力

閆穎

[摘 要]探索規律的過程就是發現數學的過程。在教學中，教師可以從探索數的規律（數的性質、數的運算規律）、探索圖的規律（圖形的特征、圖形的測量）、“探索規律”專題學習三個方面入手，發展學生的合情推理能力。

[關鍵詞]探索規律；合情推理；數的規律；圖的規律；專題學習

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）23-0072-02

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，學習數學的過程是探索并認識數量關系及空間形式規律的過程。這一過程常常伴隨推理活動，其中既有演繹推理，也有合情推理。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷出某些結果。合情推理是“數學發現”的必經之路，在“探索規律”的教學中，教師可以從三個方面發展學生的合情推理能力。

一、在探索數的規律中形成合情推理能力

數與代數的大量概念、性質、法則、公式和規律的學習，往往都是通過具體的實例展開，對這些內容的學習、理解和掌握，一般要經過從具體到抽象、特殊到一般的過程，這個過程正是合情推理的思維過程。

1.經歷數的性質抽象概括的過程

在理解數的意義，掌握數的讀寫后，一般都要探索數的性質。數的性質可通過推理歸納得出。

例如，教學“小數的性質”時，教師引導學生先聯系具體事實：“鉛筆的單價是0.3元，橡皮的單價是0.30元，它們的價格相等嗎？”“看圖比較0.1米、0.10米和0.100米的線段，它們的長度一樣嗎？”通過有序觀察小數的變化，學生初步感知：都是小數末尾添上0或去掉0，而小數的大小相等。再通過舉例驗證，進而得出“小數末尾添上0或者去掉0，小數大小不變”的規律，即小數的性質。

又如，教學“分數的基本性質”時，通過觀察直觀圖，學生判斷出，教師引發猜測：“像這樣分子、分母變了，但分數的大小不變的現象是分數的個別現象（板書：個別現象）還是普遍規律（板書：普遍規律）？其他的分數有沒有這種現象呢？如果有的話，請舉例說明（板書：舉例）。”在學生舉例，教師先明確：“這還只是我們的猜測（板書：猜測），要知道這個猜測是否正確，我們還需要驗證（板書：驗證）。那么，怎樣驗證以下這些分數一定與相等？”為了方便學生的研究，教師選擇了三個與相等的分數，請學生按照提示先算一算、填一填，再分組觀察討論，說說自己的發現。學生完成并在小組內交流后全班匯報，教師初步小結：“分數的分子和分母同時乘或除以相同的數，分數的大小不變。”進而引發學生質疑：“同時乘或除以的數既可以是整數，也可以是小數，是不是任何一個數都行呢？”學生思考后得出“0除外”。最后，師生共同完善規律。

歸納是從特殊到一般，從個別事物概括一般規律的思維方法，小學階段主要采用的是不完全歸納法，即對若干個特例進行觀察比較、抽象概括，進而得出相關的規律。

2.體驗探索數的運算規律的過程

數的運算中存在著大量的運算規律，如計算法則、運算律、商不變規律和積的變化規律等，這些運算規律都是高度概括的運算知識，是在大量的計算現象中歸納出來的。這些內容的教學價值不僅在于讓學生掌握運算規律，還要發展學生初步的推理能力。因此，教師要讓學生體驗“解決個別實際問題—看到數學現象形成猜測—大量舉例豐富例證—觀察比較抽象概括—符號表示規律”的探索規律的過程，發展學生的合情推理能力。

例如，教學“加法交換律和結合律”時，教師先出示課本的情境圖，并提出問題：“仔細觀察這幅圖，算一算跳繩的學生有多少人，應該怎樣列式計算？”有學生回答：“28+17=45（人）。”教師追問：”還可以怎么列式？”另一個學生說：“17+28=45（人）。”教師繼續追問：“觀察這兩個算式，它們有什么異同點？”當學生得出“兩個加數一樣，但加數的位置不同，和相等”的結論后，教師指出：“這兩個算式的得數是一樣的，可以用‘=把它們連起來，改寫成‘28+17=17+28的等式。你們能照樣子說出一個這樣的等式嗎？”最后學生舉例驗證，進而抽象概括出加法交換律。教師采用歸納推理的方式展開教學，引導學生在觀察、實驗和歸納等學習活動中主動認識運算律。

又如，教學“乘法交換律和加法結合律”時，教師在課始先回顧加法交換律和結合律，引發學生類比猜想：“加法運算中有這樣的規律，乘法運算中是不是也有類似的規律？你打算怎樣研究？”教師采用類比推理的方式，引導學生類比加法運算律寫出一些乘法算式，再計算比較結果是否相等，通過觀察大量的例證進而抽象概括出乘法的交換律和結合律。

不管是歸納推理還是類比推理，都是讓學生體驗運算規律的探索過程，即由個別現象形成猜測，再舉例豐富例證，通過觀察大量例子抽象概括出運算規律。

二、在探索圖的規律中形成合情推理能力

“圖形與幾何”的教學強調聯系學生的現實生活，在已有生活經驗和數學活動經驗的基礎上，通過觀察、操作、比較、猜想、驗證、分析和推理等活動，了解一些幾何體和平面圖形，探究它們的基本特征，掌握測量和畫圖的基本方法，并運用測量方法解決一些簡單的實際問題。其中，探究圖形特征和掌握圖形測量方法是發展合情推理能力的重要途徑。

1.經歷發現圖形特征的過程

研究某一種圖形，一般從認識其特征開始。發現圖形的特征，通常是在感性認識的基礎上進行合理的猜想、分析和推理。這里的推理多是從特殊到一般的合情推理。

例如，教學“三角形內角和定理”時，教師先出示一副三角尺，讓學生計算同一塊三角尺上的3個內角的度數和，得出“每塊三角尺上的3個內角的和都是180°”的結論后，引導學生猜想：“其他三角形的內角和是多少度？也會是180°嗎？”由此確定探究的內容和目標。接著，組織學生通過實驗驗證：選擇不同形狀的三角形（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）進行操作，一部分學生用“量”和“算”的方法，分別量出三角形的3個內角的度數后再相加；另一部分學生用“剪”和“拼”（或“折”和“拼”）的方法，即把三角形的3個內角剪下來（或折起來）再拼在一起，看拼成的是什么角。在學生小組交流和全班匯報后，發現無論是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，它們的3個內角的和都是180°。“三角形的內角和等于180°”是三角形關于“角”的重要特征，教師不能僅僅讓學生知道這一特征，而應讓學生自主探索發現。因此，在教學中設計“質疑—解疑—應用”的線索，突出“猜測—實驗—驗證”的推理過程，正是讓學生體驗了合情推理的“由特殊到一般”的思維過程。

2.經歷圖形測量的過程

對圖形的研究具有定性的一面，也有定量的一面。量的研究離不開測量，測量是按照某種規律，用數據來描述觀察到的現象，即對事物做出量化描述。測量一般包括確定所要測量物的屬性、選擇具有同一屬性的測量單位和通過比較待測物體與測量單位進行測量。測量過程中蘊含的合情推理思想有助于提高學生分析和解決問題的能力。

例如，教學“圓的周長”時，教師應利用“猜想—驗證—應用”的線索，讓學生有意識地獲得并掌握圓的周長的計算方法，同時體驗合情推理的思想。求圓的周長的過程不同于求多邊形的周長，教師具體可以分五步展開教學。第一步是對比感知，初步猜想。通過對比幾個不同直徑長度的圓，引導學生初步猜想——圓的周長與直徑有關。第二步是深入對比，量化猜測。將圓與它的內接正六邊形和外切正方形比較，把猜想進一步“量化”——圓的周長比它的直徑的3倍長，比它的直徑的4倍短。第三步是操作計算，發現規律。測量幾個大小不同的圓的周長，計算各個圓的周長和直徑的比值，發現所有的圓的周長總是它的直徑的3倍多一些。第四步是分析數據，驗證猜想。明確圓的周長和直徑的比值都是一個固定的數，即圓周率，同時介紹圓周率的性質。第五步是推導公式。根據圓的周長是它直徑的π倍推導出C=πd或者C=2πr。

三、在“探索規律”專題學習中形成合情推理能力

規律是客觀存在的，是隱含且可以被發現的，只要對豐富的具體現象進行深入細致的研究，從感性認識到理性認識，就能發現規律。蘇教版教材從三年級上冊開始，每冊都編排一次“探索規律”的專題學習。這部分內容有特定的編寫形式，教學一般分四步展開：第一步是呈現現象、引發注意，激發學生探索規律的興趣；第二步是組織觀察、操作等數學活動，幫助學生探索并找到規律；第三步是學生踴躍表達、交流所發現的規律，提升數學思考；第四步是引導學生回顧探索過程，反思收獲、積累經驗。這一過程既符合學生的認知規律和思維發展脈絡，又體現了由具體到抽象、特殊到一般的合情推理特征，是培養學生合情推理的重要素材。

例如，教學“一一間隔排列”時，教師首先出示有趣的現象，學生通過“看”“數”“比”“圈”等活動，由表及里逐步體驗現象中的規律，再通過變換情境讓學生體會到情境里的物體數量增加了，但排列規律沒有改變，即兩種物體之間依舊相差1，且兩端物體的個數比中間物體多1。接著，組織擺學具的操作活動，學生通過動手操作繼續探索間隔排列的規律，在直觀感知的基礎上，組織學生交流，采用不同形式（語言描述、畫圖、寫式子等）來表征規律。最后，引導學生反思探究活動過程，探索規律需要科學的態度，既要大膽猜想，又要及時驗證，讓學生深刻體會到平時經常使用的數一數、比一比、畫一畫等方法都可以應用于探索規律。規律是數學化程度較高的思維活動，其重要思維方式就是合情推理，因此，在以上的教學過程中，學生不僅探究了數學規律，而且經歷了從特殊到一般的合情推理過程，順應了學生的思維，發展了合情推理能力。

小學階段的學習需要合情推理能力，這對于學生掌握正確的學習方法、提高學習效率有很大的幫助。在教學中，教師要注重總結教學經驗、探索更多有助于學生培養合情推理能力的方法，以提高課堂教學效率，更好的發揮學生的潛能。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點資助課題“小學數學思維活動經驗形成的案例研究”（編號：C-a/2016/02/01）和徐州市教育科學“十二五”規劃課題“小學數學探索規律教學中合情推理的案例研究”（編號：GH12-15-L145）的階段成果。]

（責編 李琪琦）