習(xí)題設(shè)計(jì)與思維培養(yǎng)

【摘 要】本文通過(guò)對(duì)習(xí)題的精心設(shè)計(jì)，從四個(gè)方面來(lái)闡述如何培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，啟迪學(xué)生的智慧。

【關(guān)鍵詞】變式設(shè)問(wèn)；深刻性；一題多解；廣闊性；變換習(xí)題；創(chuàng)新性；多變習(xí)題；變通性

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中思維能力的培養(yǎng)有賴于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，而數(shù)學(xué)問(wèn)題一般表現(xiàn)為習(xí)題形式，所以習(xí)題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑。在習(xí)題教學(xué)中，習(xí)題設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教師的經(jīng)常性工作，習(xí)題設(shè)計(jì)技巧的高低不僅直接影響著學(xué)生的積極性，而且關(guān)系到學(xué)生創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練和培養(yǎng)。因此應(yīng)重視習(xí)題設(shè)計(jì)技巧即重視編擬設(shè)計(jì)一些訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)造思維品質(zhì)的習(xí)題，以促進(jìn)學(xué)生多想、多疑、啟迪學(xué)生的智慧。本文就通過(guò)習(xí)題設(shè)計(jì)有效 地培養(yǎng)學(xué)生思維談一些具體做法，供參考。

一、變式設(shè)問(wèn)，培養(yǎng)思維的深刻性。

案例一：如圖1線段AB（|AB|=2a）的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸正半軸上滑動(dòng)，求△AOB的最小面積。

變式1：如圖1直線過(guò)點(diǎn)p（2，1）分別交x軸、y軸正半軸A、B兩點(diǎn)。探討①求△AOB的面積何時(shí)最小？②△AOB的周長(zhǎng)何時(shí)最小？③線段AB的長(zhǎng)何時(shí)最短？

變式2：如圖2線段AB（|AB|=2a）的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在兩射線了L1：2x-y=0（x≥0），L2：2x=y=0（x≥0）上滑動(dòng)，求△AOB的最小面積。

變式3：如圖3直線過(guò)點(diǎn)p（2，1）分別交兩射線L1：2x-y=0（x≥0），L2：2x=y=0（x≥0）A、B，求△AOB的最小面積。

變式4：如圖4已知與圓C：（x-r）2+（y-r）2 =r2相切的直線交x軸、y軸正半軸A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)。當(dāng)切線L繞圓C轉(zhuǎn)到時(shí)你覺(jué)得那些問(wèn)題值得我們?nèi)ヌ剿鳎浚ㄌ岢鲩_放性問(wèn)題）探討①△AOB的面積有無(wú)最值？是最大值還是最小值？②△AOB的周長(zhǎng)有無(wú)最值？是最大值還是最小值？③線段AB的長(zhǎng)有無(wú)最值？是最大值還是最小值？④|OA|+|OB|有無(wú)最值？是最大值還是最小值？⑤AB中點(diǎn)的軌跡。設(shè)問(wèn)：中點(diǎn)的軌跡是什么？漸近線方程是什么？過(guò)中點(diǎn)作漸近線的平行線所圍成平行四邊形是常數(shù)嗎？

變式5：（擴(kuò)展）如果我們把圓擴(kuò)展到橢圓或雙曲線，上述哪些性質(zhì)還可以延續(xù)？哪些性質(zhì)有所變化？

二、一題多解，靈活運(yùn)用，培養(yǎng)思維的廣闊性。

案例二：如圖5在正方體中，求證：AC1⊥BD。設(shè)問(wèn)：1.AC1與BA1的關(guān)系如何？2.AC1與DA1的關(guān)系如何？3. AC1與面BDA1的關(guān)系如何？4.AC1還與哪個(gè)面垂直？5. 四面體C1-ABC中有多少個(gè)直角三角形？

三、變換習(xí)題，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性。

學(xué)生思維的創(chuàng)新性主要表現(xiàn)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中善于獨(dú)立思考和分析問(wèn)題，善于發(fā)現(xiàn)矛盾，提出問(wèn)題，有探索和猜想的創(chuàng)新精神。

案例三：圓柱的直徑和高都等于球的直徑。求證：⑴球的表面積等于圓柱的側(cè)面積；⑵球的表面積等于圓柱的表面積的；此例題改編成阿基米德的數(shù)學(xué)碑文《論球與圓柱》，還原知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程。碑文的內(nèi)容“如果在圓柱內(nèi)有一個(gè)直徑與圓柱體等高的內(nèi)切球，則圓柱的表面積和體積分別等于球的表面積和體積的 。”怎樣改編？

四、多變習(xí)題，培養(yǎng)思維的變通性。

設(shè)計(jì)多變型習(xí)題是指教師在習(xí)題教學(xué)中不要就題論題，要在原題的基礎(chǔ)上不斷變換問(wèn)題情境，使之變?yōu)楦嗟挠袃r(jià)值、有新意的新問(wèn)題。使更多的知識(shí)得到應(yīng)用，從而獲得“一題多練”“一題多得”的效果，使學(xué)生思維的變通性得到培養(yǎng)和發(fā)展。

案例四：求曲線y2=-4-2x上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)。答案（-2，1）拋物線的頂點(diǎn)。

變式1：求曲線y2=4-2x上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)。答案（1，±）此點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)到拋物線最近距離不一定在拋物線的頂點(diǎn)處。學(xué)生可能會(huì)用圖像法直接觀察出該點(diǎn)在頂點(diǎn)處。此題設(shè)計(jì)目的是通過(guò)辨析，揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)思維的準(zhǔn)確性。

變式2：求曲線y =-4-2x上與A（a，0）距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)。答案a≥-3時(shí)（-2，0），a<-3時(shí)（a+1，±）本題實(shí)際上是前兩題的歸納和總結(jié)。

變式3：拋物線C1：y2=-4-2x與動(dòng)圓C2：（x-a）2+ y2=1沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍。答案a<-3 ，a>-1說(shuō)明拋物線C1：y2=-4-2x與動(dòng)圓C2 ：（x-a）2+ y2=1的位置關(guān)系有兩種，內(nèi)部和外部，如果變?yōu)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)呢？則引出變式4：一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是y=（0≤y≤15）在杯內(nèi)放一個(gè)玻璃球，要使球觸及酒杯底部，求玻璃球的半徑r的取值范圍？答案 r≤1，聯(lián)系實(shí)際增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中如何進(jìn)行創(chuàng)造教育是一個(gè)較大的理論課題，又是我們每個(gè)數(shù)學(xué)教師所面臨的最緊迫的實(shí)際問(wèn)題。需要我們?nèi)ヮI(lǐng)會(huì)和研究，本文只是對(duì)該課題的研究作出一個(gè)初步的嘗試，所提出的也只是很小一部分，還有待于深入地進(jìn)行理論研究和探討。

最后，用美國(guó)數(shù)學(xué)家波利亞的話作為結(jié)束語(yǔ)：“一個(gè)專心備課的教師能拿一個(gè)有意義的但不太復(fù)雜的題去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就好象通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域。”

參考文獻(xiàn)：

[1]《數(shù)學(xué)》（全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書）.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著.

作者簡(jiǎn)介：劉建寧（1967.12—）女，遼寧本溪人，從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作，講師。endprint