豐盈經歷 理解算理

楊武昌

培養學生的計算能力是小學數學教學的核心任務之一。計算能力強弱的重要標志是對計算過程的深刻理解。理解計算過程不光要知道怎樣計算，更重要的是要明確為什么要這樣計算，這實質上是一個算理問題。“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”這一內容安排在人教版三年級數學下冊第四單元。這部分知識是在學生已經掌握了“乘數是一位數筆算乘法”及“用整十數乘”的基礎上進行教學的，它是學生進一步學習乘數是三位數乘法的基礎。“乘數是一位數筆算乘法”的算理和算法都將直接遷移到兩位數乘兩位數中來。因此，學生對算理和算法的理解和探索并不會感到困難。本節課除了讓學生理解兩位數乘兩位數筆算乘法的算理、掌握其算法以外，還承擔著計算與應用兩個任務。那么，在本課教學中，如何使計算教學與數學應用和諧交融，有機結合呢？

一、情境創設，支撐理解

小學數學課程標準強調，計算應使學生經歷從現實生活中抽象數和簡單的數量關系，在具體的情境中理解，并應用所學的知識解決問題的過程，避免將運算與應用割裂開來。教學中，教師要根據學生認知發展水平和已有的知識經驗，選擇學生感興趣的事物、活動，用蘊含數學信息的故事、游戲、圖片，創設各種生動形象的、與教材內容有關的教學情境，拓寬學生數學學習的視野，以激發學生學習興趣，引導他們積極主動地參與到學習中去。

如，“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”的教學伊始，充分利用課本資源，借助多媒體課件創設這樣一個學生熟知的情境：媽媽帶小紅去書店買課外書，每本14元，一共買了12本。一共要付多少錢？從而引導學生得出14×12的數學算式。通過這樣創設簡單、有效的情境不僅讓學生從具體的生活問題中自然引出數的計算，改變枯燥的呈現方式，而且豐富了學生的學習過程，從而使學生感受到數學在實際生活中的應用價值。然而，計算教學的情境不是隨便亂用，只有創設相當合適的教學情境，才會起到相得益彰的作用。如果創設的教學情境與學生的生活實際太遠，或者情境的數學價值不大，學生便有可能毫無目的地發散出去。

二、數形結合，促進理解

在小學數學教學中，教師要從形對于數的直觀性、數對于形的深刻性這兩方面，發揮數形結合的作用。由此，數形結合既是研究、探索數學的一種思想方法，又是幫助學生理解、解釋數學的一種教學方式與教學手段。在“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”的教學中可以借助數形結合，降低學生學習難度，幫助學生更好理解知識，架起算理與算法之間的橋梁，使抽象思維和形象思維有效地結合起來，從而幫助學生深刻地理解算理。

如，在“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”的教學中可結合上述情境創設的基礎上，充分利用“點子圖”幫助學生理解筆算過程中每一步的意義，使算理和算法達到有機融合。

1. 把上下分成三個部分，每個部分都是14×4，再把三個部分相加得168（如圖1）。

2. 把上下分成四個部分，每個部分都是14×3，再把四個部分相加得168（如圖2）。

3. 把左右分成三個部分，前兩部分都是12×5，第三部分是12×4，再把它們相加得168（如圖3）。

4. 把上下分成兩個部分，上部分是14×2，下部分是14×10，兩個部分相加得168。（如下圖4）。

……

當然，在交流14×12計算問題時，由于學生的認知建構和解決問題的視角不同，常常會出現不同的算法，教師要尊重學生的個性化算法，鼓勵學生對同一個計算問題進行不同的算法思考，通過交流，體驗算法的多樣化。教師要善于引導學生通過對不同計算方法和點子圖的分析比較、歸納和分類，多中選優、擇優而用，掌握解題的策略。與此同時，教師可提出如下問題：“你的方法與他的方法不同在哪里？”“你認為他的方法怎么樣？”“誰的方法更好些？”“用他的方法去做一做，你有什么想法？”提倡在算法多樣化的基礎上關注算法的優化。上述教學中，通過運用點子圖將學生的思考從直觀的分一分、算一算，引導學生有意識地思考。這樣既尊重算法的多樣，呵護個性算法，又在尊重算法多樣的前提下幫助學生完成對多樣算法的優化，構建共性算法——“先分后合”，進而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

三、理法通融，強化理解

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎上，學生應用知識形成技能，離不開自己的實踐；學生只有在獲得知識技能的活動過程中，才能在數學思考、問題解決和情感態度方面得到發展。”理解“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”是本課的重點和難點。眾所周知，算理是運算正確的前提和依據。算理和算法是計算教學中不可分割的兩個方面，算理解決“為什么這樣算”的問題，算法是算理的具體化，解決“怎樣算”的問題。因此，計算教學中，教師要著力引導學生運用已有的知識技能去體驗，讓他們在具體的思考和探究中理解算理、掌握算法，從而實現算理與算法的有機融合，促進計算能力的不斷提高。

如，教學“兩位數乘兩位數（不進位）筆算乘法”例1時，首先，引導學生結合點子圖，讓學生自主探究“14×12”怎樣算？學生出現多種方法：（1）先算4套要多少錢，再算12套要多少錢；（2）先算3套要多少錢，再算12套要多少錢；（3）先算10套和2套各多少錢，再合起來；（4）用豎式計算。交流時，重點引導學生對（3）的理解，讓學生有意識地先說2套是14×2=28，再交流10套是14×10=140，最后合起來是28+140=168。接著引導學生交流用豎式計算，努力架設算理直觀與算法抽象之間的橋梁，可先引導學生思考第一層算的是什么？表示什么？第二層呢？表示什么？接下來的呢？（逐步板書如下：）

14

×12

28 ……14×2=28→2個14是28（2套的錢）

140 ……14×10=140→10個14是140（10套的錢）

168 ……28+140=168→12套的錢

然后，引導學生小結：剛才先算什么？第一個乘數與第二個乘數個位上的數相乘，算出了2套的錢。再算什么？與第二個乘數十位上的數相乘，算出了10套的錢，最后相加，算出12套的錢。

接著再讓學生計算13×52，24×23。并引導學生觀察，這些算式有什么共同的地方？通過觀察比較，發現并規范豎式計算的簡便寫法。

最后，再引導學生交流：為什么新的算法第二個積的末尾要與十位對齊？為什么新的算法要把兩次乘得的積分上下兩層來寫？

由此看出，教學中為學生架設了三座橋梁。第一，通過有意識交流第（3）種解法，為筆算算法的算理做好鋪墊；第二，通過問題“算的是什么，表示什么”，引導學生把視角投向豎式計算的實際情境中，數形對應，使學生直觀地理解算理，并在直觀算理的支撐下，逐步抽象出算法。第三，安排學生嘗試計算，并引導學生觀察、比較“這些算式有什么共同的地方？”進而簡化豎式。這樣，學生充分體驗了從算理到算法的演變過程，學生學得輕松、理解得更加深刻。

縱觀這一內容的教學，對于學生而言，理解算理、建構算法往往是一個艱難的過程。因此，教師在引導學生理解算理和算法時，要注意溝通具體直觀和抽象概括之間的聯系；在引導學生感悟算理和算法時，要提供充分的時間和空間，讓學生豐富體驗、加深認識；在鏈接算理與算法時，要尊重學生的理解和選擇，因勢利導，有針對性地引導學生進行分析比較、反思交流等。只有這樣，才能真正使學生達到算理、算法和技能的有機融合，學生也才能知算理、曉算法；以算理、釋算法；依算理、用算法。從而提升學生的數學思維，同時為學生以后學習“兩位數乘兩位數（進位）筆算乘法”“三位數乘兩位數筆算乘法”等提供有益的思維支持。