平面幾何對(duì)于立體幾何學(xué)習(xí)的幫助

劉銘洋

高中立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，這一部分內(nèi)容在高考試題中占據(jù)了12分的分值，可以說(shuō)成功解決這一部分試題能夠在一定程度上保證學(xué)生取得理想的數(shù)學(xué)成績(jī)。但是這一部分試題的分值卻不容易取得，這種得分之困難與立體幾何這一部分知識(shí)學(xué)習(xí)難度之大有著密切的聯(lián)系。因?yàn)榱Ⅲw幾何在所有高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的難度最大，其難度甚至超過了解析幾何和數(shù)列。因?yàn)閷W(xué)號(hào)立體幾何需要有較強(qiáng)的空間思維，能夠在想象中架構(gòu)幾何圖形。其實(shí)達(dá)到這種能力可以依靠平面幾何的學(xué)習(xí)來(lái)完成，因此探討平面幾何對(duì)立體幾何學(xué)習(xí)的幫助有著非常重要的意義。筆者認(rèn)為對(duì)這一問題的探討可以從三個(gè)方面進(jìn)行展開，平面幾何知識(shí)形成的幾何學(xué)習(xí)素養(yǎng)、立體幾何學(xué)習(xí)相關(guān)能力的要求、平面幾何對(duì)于立體幾何學(xué)習(xí)的幫助。

一、平面幾何知識(shí)形成的幾何學(xué)習(xí)素養(yǎng)

平面幾何知識(shí)內(nèi)容雖然非常豐富，涉及到各個(gè)方面，但是總的來(lái)看平面幾何知識(shí)不外乎點(diǎn)、線、角三要素的使用。因此，平面幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生在平面內(nèi)全面使用幾何要素的能力。

從本質(zhì)上看，這種能力是一種較為基礎(chǔ)的幾何學(xué)習(xí)素養(yǎng)。通過這種素養(yǎng)的形成，學(xué)生能夠具有對(duì)圖形分析、架構(gòu)的思維，能夠利用幾何要素進(jìn)行相關(guān)問題的解決。

由此來(lái)看，平面幾何知識(shí)形成的幾何學(xué)習(xí)素養(yǎng)既包括了學(xué)生分析圖形、架構(gòu)圖形的能力，還包括了學(xué)生利用幾何元素解決相關(guān)問題的思維。例如利用中位線定理可以對(duì)一些線段長(zhǎng)度的計(jì)算進(jìn)行快速的解決。其實(shí)這種思維是最重要的，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心目的就在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

二、立體幾何學(xué)習(xí)的相關(guān)能力的要求

立體幾何學(xué)習(xí)是一項(xiàng)難度較大的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生要想完成這項(xiàng)學(xué)習(xí)下任務(wù)必須滿足相關(guān)的能力要求。一般來(lái)說(shuō)，這些能力要求表現(xiàn)在諸多方面。但是綜合來(lái)看，可以歸納為三部分，即能夠具有空間想象能力、能夠進(jìn)行有效的邏輯推理論證、能夠利用典型例題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

（一）能夠具有空間想象能力

空間想象能力是指學(xué)生能夠?qū)αⅢw圖形進(jìn)行想象，能夠?qū)D形在立體空間內(nèi)的變化有一個(gè)清晰的把握。例如學(xué)生能夠根據(jù)相關(guān)試題的需要，將立體圖形中的一部分幾何元素抽離出來(lái)，或者將一部分集合集合元素進(jìn)行空間的移動(dòng)。

這種空間想象能力的發(fā)揮一部分是通過學(xué)生的聯(lián)想完成的，另一部分則需要學(xué)生能夠在紙質(zhì)材料上將這種集合元素的變化清晰地畫出來(lái)?？梢哉f(shuō)擁有上述能力是進(jìn)行立體幾何學(xué)習(xí)最初步的基礎(chǔ)，如果這一基礎(chǔ)都不能有效的建立，那么學(xué)生就無(wú)法完成立體幾何的學(xué)習(xí)，

（二）能夠進(jìn)行有效的邏輯推理論證

學(xué)生要想進(jìn)行有效的立體幾何學(xué)習(xí)，必須能夠進(jìn)行有效的邏輯推理論證。第一步是學(xué)生能夠保持嚴(yán)密性，對(duì)定義、定理及推論能夠做到全面的理解并且保證準(zhǔn)確無(wú)誤。第二步是符號(hào)表示要與定理完全一致，這樣才能做到解題的規(guī)范性。學(xué)生一定要明白只有定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論，切忌條件不全就下結(jié)論。第三步是思考應(yīng)多用分析法，即逐步地找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法形式寫出。最重要是學(xué)生能夠?qū)φn本上定理的證明進(jìn)行熟記，從而掌握定理證明的邏輯推理過程及其滲透的數(shù)學(xué)方法。

（三）能夠利用典型例題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

一般來(lái)說(shuō)，立體幾何的題型的規(guī)律性較強(qiáng)，學(xué)生只要掌握住其中的規(guī)律就能夠進(jìn)行有效的推延。所以學(xué)生的做題不在于多，而在于精，能夠利用典型例題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是非常重要的。學(xué)生能夠從解決一個(gè)題學(xué)會(huì)學(xué)生解決這一類題的方法，能夠掌握，因此學(xué)生運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”思想進(jìn)行分析試題就顯得很重要。

三、平面幾何對(duì)于立體幾何學(xué)習(xí)的幫助

通過上述兩方面的介紹，我們對(duì)平面幾何形成的幾何學(xué)習(xí)素養(yǎng)和立體幾何學(xué)習(xí)的相關(guān)能力要求有了一個(gè)清晰的了解，在此基礎(chǔ)上我們能夠確定平面幾何對(duì)于立體幾何學(xué)習(xí)的幫助主要集中在三個(gè)方面。

（一）平面幾何有助于學(xué)生培養(yǎng)空間想象的能力

從最基礎(chǔ)方面來(lái)看，平面幾何的學(xué)習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生在平面內(nèi)全面使用幾何元素的能力，例如學(xué)生能夠添加輔助線、切割圖形。學(xué)生在全面掌握這些能力的基礎(chǔ)上就能夠進(jìn)行能力的遷移，將這種模式由平面拉向空間，在這個(gè)過程中學(xué)生不會(huì)有太多的陌生感。

（二）平面幾何有利于增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理論證整理

平面幾何的學(xué)習(xí)中最注重的就是學(xué)生的邏輯推理論證能力，可以說(shuō)平面幾何中的這些能力能夠完全直接在立體幾何的學(xué)習(xí)中進(jìn)行應(yīng)有。所以說(shuō)這一部分的幫助是最具有原始性、最直接的。

（三）平面幾何能夠強(qiáng)化學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

學(xué)生通過在平面幾何中對(duì)轉(zhuǎn)化思想的練習(xí)，可以在立體幾何中以同樣的模式進(jìn)行應(yīng)用。依靠對(duì)典型例題的解答來(lái)掌握一類題的解題規(guī)律，從而為立體幾何的解題奠定最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。