論玻爾理論和對應原理

陳靜怡

摘 要：盧瑟福通過α粒子散射實驗，得出了盧瑟福原子模型。普朗克為解釋黑體輻射，提出了量子概念。玻爾依據以上兩個理論基礎，提出了具有跨時代意義的原子理論。本文從玻爾的原子理論出發，詳細闡釋了玻爾的原子理論以及對應原理，分析它們的意義及應用。

關鍵詞：玻爾原子理論；對應原理；表述；應用

一、引言

1900年，物理學界遇到了一個巨大的難題，即“紫外災難”。人們試圖用維恩定律和瑞利-金斯定律來解釋黑體輻射，然而，維恩定律能較好地解釋黑體輻射的高頻區域，卻無法解釋低頻區域，瑞利-金斯定律恰好與之相反。

經典物理似乎對于黑體輻射的理論解釋無能為力。同年10月，普朗克得出了一個與實驗數據完全吻合普朗克公式。依此，普朗克提出了自己都震驚的理論解釋——單獨量子諧振子吸收和放射的輻射能是量子化的。

玻爾根據普朗克量子場論及盧瑟福原子理論，提出了玻爾原子理論及玻爾原子結構假設，很好地解釋了氫原子基態電離能等實驗結果。玻爾認為經典物理與量子物理在某種條件下是統一的，因此提出了著名的“互補原理”，及“對應原理”。這兩大原理的提出，使得舊量子場論被推翻，為新量子場論的建立提供了肥沃的養料。

二、玻爾理論與歷史發展

（一）盧瑟福原子結構的困難

1911年，盧瑟福在老師湯姆森的指導下，通過對自己設計的α粒子散射實驗數據進行思考。最終推翻了老師湯姆森的原子結構模型，提出了盧瑟福原子結構模型。這個類似“太陽系”的原子結構模型依靠電磁相互作用力維持運轉。這是一次巨大的創新，然而它卻因自己具有無法解釋的缺陷不被物理學界所重視。

為物理學界所知，氫原子是由一個帶正電荷的原子核和帶負電荷的電子構成的。依據盧瑟福原子結構理論，可將電子的運動看作是繞著原子核作圓周運動，因此根據經典物理理論，電子的向心力等于庫侖力，即：

上式中（2）（4）兩式充分體現了盧瑟福原子結構模型的理論表述。然而依據盧瑟福原子結構模型，電子不停的繞核運動會輻射出連續的電磁波，也就會產生連續的光譜輻射，整個原子的能量將不斷減少，從而導致了電子與原子核之間的距離越來越小，最終電子將打在原子核上，所有原子都將只有原子核的大小，大致半徑約為 。

然而實際上，氫原子的輻射光譜是分立的。所有原子的半徑也并非 大小，從各種實驗測得的原子半徑均為 的數量級。因此，盧瑟福原子結構模型并不能完美地解釋氫原子。

（二）普朗克量子場論

黑體是用于研究熱輻射的理想物體。19世紀，由于冶金以及照明設備制造等的需要，人們急需找到黑體輻射強度和輻射頻率的關系。1889年盧默與魯本斯通過研究空腔輻射得出了黑體輻射光譜的實驗數據。

1900年10月，普朗克將維恩定律加以改良，得出了普朗克公式，該公式完美地解釋了黑體輻射的實驗數據。依此，普朗克提出單獨量子諧振子吸收和放射的輻射能是量子化的。從此，物理學界的量子理論開始漸漸走上舞臺。

（三）玻爾理論

1913年，玻爾提出了新的原子結構模型，該模型是在盧瑟福原子結構模型的基礎上，引入普朗克量子理論而產生的。玻爾原子結構模型提出了以下幾點假設：

1、核外電子只能在某些特定的（有確定的半徑和能量）圓形軌道上繞核運動，且處于穩定狀態。在軌道上運動的電子既不吸收能量，也不放出能量。

2、電子在不同軌道上運動時，其能量是不同的。軌道離核愈遠，能量愈高。當原子中的電子處于離核最近的軌道時，它們處于最低的能量狀態，稱為基態。當原子從外界獲得能量時，電子可以躍遷到離核較遠、能量較髙的軌道上，這種狀態稱為激發態。電子的能量是量子化的，它不可能處于兩個允許的相鄰軌道的能量之間。

3、電子在能量不同的軌道之間躍遷時，原子才會吸收或放出能量。處于激發態的電 子不穩定，可以躍遷到離核較近的軌道上，同時釋放出光能。釋放出光能（光的頻率）的大小決定于兩軌道之間的能量差，其關系式為：

其中 為兩能級間能級差， 為較高能級具有的能量， 為較低能級具有的能量，h為普朗克常量，約為 。

玻爾原子結構模型說明，在正常狀態下，氫原子的電子均在固定的軌道上繞核運動，不會輻射出電磁波，電子與原子核的半徑也不會因此減小。同時，當原子吸收外界足夠的能量后會從低能級躍遷到高能級，即從基態躍遷到激發態，處于激發態的電子是不穩定的，它將輻射出能量，使自己重回基態，而這輻射的能量是分立的，不是連續的。因此，量子化的原子結構模型很好地解釋了氫原子穩定存在的原因，而且還成功地說明了氫原子和類氫原子的光譜現象。

三、玻爾的對應原理

在得出玻爾原子結構模型之后，玻爾并不這么認為經典物理完全錯誤。為此，他提出了著名的“互補原理”，及“對應原理”。其中“互補原理”即宏觀與微觀理論，以及不同領域相似問題之間的對應關系。

（一）對應原理的表述

設有一個處于定態的多電子原子，該原子內部電子運動可以用經典力學表述，因此可通過f個廣義坐標 來描述。同時該體系為多周期體系，因此可以假設各個廣義坐標可以展成多重的傅里葉級數：

其中， … 是P個不可通約的基頻，其個數稱為體系的周期度。為了方便，先分析單周期，即P=1時的情況：

其中 是體系的經典繞轉頻率，按照經典電動力學，如果繞轉部分是帶電的，體系就會出現頻率為 、2 、…、 的電磁波。1913年，玻爾開始考慮經典的和量子的譜線頻率的極限重合。設單周期體系的兩個定態分別為n和 。當n和 遠大于其差值時：

其中， 是體系經典繞轉頻率， 是按照玻爾假設中計算而來的態n和 之間的躍遷所發射的量子頻率。上式表明在一定的條件下，每一次頻率為 的輻射躍遷可以和經典運動中的一個傅里葉分量 對應起來，二者頻率接近重合。最終，玻爾得出了近乎完美的對應關系，可以簡單表述為：“在大量子數極限情形下，量子體系的行為將漸近地趨于經典力學體系的行為。”

（二）對應原理的應用——矩陣力學的建立

1925年7月，矩陣力學是量子力學其中一種的表述形式，首先被海森堡提出，它是由海森堡、玻恩和約爾丹（P.Jordan）于1925年完成的。矩陣力學的思想出發點是玻爾模型中許多觀點，諸如電子的軌道、頻率等，都不是可以直接觀察的。三人共同創立了矩陣力學。1925年，海森堡、玻恩、約丹先后出版了關于矩陣力學的著作：《關于量子力學》、《關于量子力學Ⅱ》，標志著矩陣力學的誕生與成熟。

四、總結

從普朗克為了解釋黑體輻射開始，量子理論逐步地揭開身上的面紗。愛因斯坦在解釋光電效應時也提出了量子假說，證實了量子論的正確性。玻爾創新地將量子理論運用到原子結構中來，成功闡釋了原子結構的穩定性與光譜的分立特點。為了使得經典物理與量子理論相統一，玻爾開始思考兩種看似表面上截然不同的理論其本身所具有的聯系，最終玻爾提出了“對應原理”與“互補原理”。在之后的多種實驗中，均證明了這兩種原理的正確性。從此，微觀物理中的量子力學漸漸走向歷史的舞臺。

參考文獻

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[3] 胡化凱.對應原理與矩陣力學的建立 [J].物理學史，1997：34-38.

（作者單位：浙江師范大學）