微分中值定理的學習技巧

李小娟

摘要：基于當代大學生在高等數學的學習上存在學習困難的現象較為普遍，而學校給出的課時數又相對較少的問題，本文提出了兩點建議：一、及時利用新知識鞏固舊知識，如利用學習不定積分復習鞏固導數；二、在教學方法上強調思想和解題技巧的統一，使復雜問題簡單化，如學習微分中值定理時，基本都是圍繞一條主線：從結論出發，利用不定積分湊出輔助函數，驗證輔助函數符合羅爾定理三個條件，最后利用羅爾定理直接得出結論。

關鍵詞：微分；中值定理；學習技巧

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）37-0223-02

當代大學生在高等數學的學習上存在學習困難的現象較為普遍，個別專業學生在期末考試中不及格率偏高，在補考和重修中仍沒有太大改觀.學生在學習上表現與高等數學的教學要求及教學目標相去甚遠，未達到基本學習要求.在與學生的交談中可以了解到學生在高等數學的學習過程中摸不到頭緒，無法掌握有效的學習方法，主要靠對公式、例題和作業題死記硬背應付考試.而在整個微積分的教學過程中，微分中值定理不僅是重點，而且是難點.鑒于以上現象，我在授課的過程中會更加注重思想的統一、解題技巧的應用，這樣，不僅讓學生能容易理解定理的證明，更能從頭開始讓學生掌握做題的技巧，使得復雜問題簡單化，這對非數學專業的學生非常重要.

在微分中值定理的學習過程中，最主要的思想就是構造輔助函數，利用下面的羅爾定理來證明.

（羅爾定理）如果函數y=f（x）滿足條件：

（1）在閉區間[a，b]上連續，

（2）在開區間（a，b）上可導，

（3）在區間兩個端點上的函數值相等，

即f（a）=f（b），

則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

但是利用一般思想來構造輔助函數的過程是很復雜的，下面我們主要講述不定積分在構造輔助函數過程中的重要性.

一、利用輔助函數巧證拉格朗日定理

設函數f（x）滿足：

（1）在閉區間[a，b]上連續，

（2）在開區間（a，b）上可導，

那么就需要找一個符合羅爾定理條件的函數F（x）滿足下面兩個條件：

即可說明拉格朗日定理是成立的.

而對（i）兩邊求不定積分可得：

因C是任意常數，不妨設C=0，即設

很容易驗證函數F（x）是符合羅爾定理三個條件的，所以由羅爾定理可得條件（ii）成立，定理得證.

二、利用輔助函數巧證柯西定理

設函數f（x）和g（x）滿足：

（1）在閉區間[a，b]上連續，

（2）在開區間（a，b）上可導，

（3）在（a，b）內任何一點處g′（x）都不等于0，

則至少存在一點ξ∈（a，b），使得：

分析：要想證明

即證

[f（b）-f（a）]g′（ξ）-[g（b）-g（a）]f′（ξ）=0，那么就需要找一個符合羅爾定理條件的函數F（x）滿足下面兩個條件：

（i）F′（x）=[f（b）-f（a）]g′（x）

-[g（b）-g（a）]f′（x），

（ii）F′（ξ）=0，

即可說明拉格朗日定理是成立的.

而對（i）兩邊求分部積分可得：

F（x）=[f（b）-f（a）]g（x）

-[g（b）-g（a）]f（x）+C.

因C是任意常數，不妨設C=0，即設

F（x）=[f（b）-f（a）]g（x）-[g（b）-g（a）]f（x）.

很容易驗證函數F（x）是符合羅爾定理三個條件的，所以由羅爾定理可得條件（ii）成立，定理得證.

參考文獻：

[1]陳玉.積分第一中值定理的推廣[J].江西科學，2014，（02）.

[2]陳玉.基于微分中值定理的積分中值定理[J]. 高等數學研究，2013，（06）.

[3]伍建華，孫霞林，熊德之.一類積分型中值定理的漸近性討論[J].西南師范大學學報：自然科學版，2012，（08）.endprint