微分中值定理的學(xué)習(xí)技巧

李小娟

摘要：基于當(dāng)代大學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上存在學(xué)習(xí)困難的現(xiàn)象較為普遍，而學(xué)校給出的課時數(shù)又相對較少的問題，本文提出了兩點建議：一、及時利用新知識鞏固舊知識，如利用學(xué)習(xí)不定積分復(fù)習(xí)鞏固導(dǎo)數(shù)；二、在教學(xué)方法上強調(diào)思想和解題技巧的統(tǒng)一，使復(fù)雜問題簡單化，如學(xué)習(xí)微分中值定理時，基本都是圍繞一條主線：從結(jié)論出發(fā)，利用不定積分湊出輔助函數(shù)，驗證輔助函數(shù)符合羅爾定理三個條件，最后利用羅爾定理直接得出結(jié)論。

關(guān)鍵詞：微分；中值定理；學(xué)習(xí)技巧

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）37-0223-02

當(dāng)代大學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上存在學(xué)習(xí)困難的現(xiàn)象較為普遍，個別專業(yè)學(xué)生在期末考試中不及格率偏高，在補考和重修中仍沒有太大改觀.學(xué)生在學(xué)習(xí)上表現(xiàn)與高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要求及教學(xué)目標(biāo)相去甚遠，未達到基本學(xué)習(xí)要求.在與學(xué)生的交談中可以了解到學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中摸不到頭緒，無法掌握有效的學(xué)習(xí)方法，主要靠對公式、例題和作業(yè)題死記硬背應(yīng)付考試.而在整個微積分的教學(xué)過程中，微分中值定理不僅是重點，而且是難點.鑒于以上現(xiàn)象，我在授課的過程中會更加注重思想的統(tǒng)一、解題技巧的應(yīng)用，這樣，不僅讓學(xué)生能容易理解定理的證明，更能從頭開始讓學(xué)生掌握做題的技巧，使得復(fù)雜問題簡單化，這對非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生非常重要.

在微分中值定理的學(xué)習(xí)過程中，最主要的思想就是構(gòu)造輔助函數(shù)，利用下面的羅爾定理來證明.

（羅爾定理）如果函數(shù)y=f（x）滿足條件：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，

（3）在區(qū)間兩個端點上的函數(shù)值相等，

即f（a）=f（b），

則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

但是利用一般思想來構(gòu)造輔助函數(shù)的過程是很復(fù)雜的，下面我們主要講述不定積分在構(gòu)造輔助函數(shù)過程中的重要性.

一、利用輔助函數(shù)巧證拉格朗日定理

設(shè)函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，

那么就需要找一個符合羅爾定理條件的函數(shù)F（x）滿足下面兩個條件：

即可說明拉格朗日定理是成立的.

而對（i）兩邊求不定積分可得：

因C是任意常數(shù)，不妨設(shè)C=0，即設(shè)

很容易驗證函數(shù)F（x）是符合羅爾定理三個條件的，所以由羅爾定理可得條件（ii）成立，定理得證.

二、利用輔助函數(shù)巧證柯西定理

設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，

（3）在（a，b）內(nèi)任何一點處g′（x）都不等于0，

則至少存在一點ξ∈（a，b），使得：

分析：要想證明

即證

[f（b）-f（a）]g′（ξ）-[g（b）-g（a）]f′（ξ）=0，那么就需要找一個符合羅爾定理條件的函數(shù)F（x）滿足下面兩個條件：

（i）F′（x）=[f（b）-f（a）]g′（x）

-[g（b）-g（a）]f′（x），

（ii）F′（ξ）=0，

即可說明拉格朗日定理是成立的.

而對（i）兩邊求分部積分可得：

F（x）=[f（b）-f（a）]g（x）

-[g（b）-g（a）]f（x）+C.

因C是任意常數(shù)，不妨設(shè)C=0，即設(shè)

F（x）=[f（b）-f（a）]g（x）-[g（b）-g（a）]f（x）.

很容易驗證函數(shù)F（x）是符合羅爾定理三個條件的，所以由羅爾定理可得條件（ii）成立，定理得證.

參考文獻：

[1]陳玉.積分第一中值定理的推廣[J].江西科學(xué)，2014，（02）.

[2]陳玉.基于微分中值定理的積分中值定理[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2013，（06）.

[3]伍建華，孫霞林，熊德之.一類積分型中值定理的漸近性討論[J].西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，（08）.endprint