巧用平移法解決存在性問題

李睿芳

在近年來的中考數學試卷中，等腰三角形、直角三角形、平行四邊形的存在性問題一直是多數學生感到困惑的問題，是涉及知識點非常多的綜合性問題.這類問題不僅考查學生對所學知識的應用能力，還對學生在不同情境中提取信息、作圖、分析、設計方案以及計算能力都有較高要求.

存在性問題是探討是否存在一點，使其滿足某種特殊關系或圖形狀態的問題.通常利用全等、相似、三角函數等知識解決，但是計算量大、圖形復雜、耗費時間比較長，下面介紹一種比較簡單的方法——平移法.

例1：直線AB： y=■x+2 與直線CD： y=-x+5 交于一點P， 在坐標平面內是否存在一點M，使得B，P，C，M為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由.

分析：（1）讀題標注，整合信息：

由兩條直線解析式可得B（-4，0），C（0，5），P（2，3）.

（2）根據方案作圖（圖略），有序操作：

①以PC、BP為臨邊擴展平行四邊形得M1.

根據平行四邊形的性質得PC∥M1B，PC= M1B，借助平移，B到M1坐標的改變與P到C坐標的改變相同，由P（2，3）→C（0，5）可得，橫坐標小2縱坐標大2，B（-4，0）→M1 （-4-2，0+2），即M1（-6，2）.

②以PC、BC為臨邊擴展平行四邊形得M2.

同理由C（0，5）→P（2，3）可得，橫坐標大2縱坐標小2，那么 B（-4，0）→M2（-4+2，0-2），即M2（-2，-2）.

③以BC、BP為臨邊擴展平行四邊形得M3.

由B（-4，0）→P（2，3）可得，橫坐標大6縱坐標大3，那么C（0，5）→M3（0+6，5+3），即M3（6，8）.

例2：如圖1，平面直角坐標系中有兩個點B（4，2）、C（0，3），P在直線上，Q在直線 y=■x上，是否存在四點P、Q、B、C構成平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由.

分析：根據方案作圖，有序操作.

①當BC為平行四邊形的邊時，把BC上下平移可得：P1Q1（圖2）和P2Q2（圖3）平行且等于BC的時候即可構成平行四邊形.

設P1的坐標（x，-■x+3），平行四邊形中由C（0，3）→P1（x，-■x+3）可得橫坐標大x，縱坐標大-■x，那么 B（4，2）→Q1 （4+x，-■x+2），之后把Q1（4+x，-■x+2）代人y=■x，即可得x=-2，所以P1（-2，4）.

同理P2（5，■）.

②當BC為平行四邊形的對角線時，取BC的中點E（2，■），過點E的直線在BC的兩側取點P3，Q3，當EP3=EQ3的時候構成平行四邊形.

設P3的坐標 （x，-■x+3），平行四邊形中由P3（x，-■x+3） →E（2，■）可得橫坐標大2-x、縱坐標大■x-3+■，那么E（2，■）→Q3（2+2-x，■+■x-3+■），之后把Q3（4-x，■x+2）代人y=■x可得x=2，所以P3（2，2）.endprint