一道幾何題的變式訓(xùn)練

陳艷霞

平行線的判定和性質(zhì)是七年級下學(xué)期數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，要求學(xué)生掌握平行線的性質(zhì)和判定的基本知識及運(yùn)用.學(xué)生對這一部分的基本知識掌握并不感到困難，感到困難的是需要做輔助線的說理題及利用平行線的性質(zhì)來判定研究兩直線的位置關(guān)系或者幾個角之間的關(guān)系問題.通過幾何畫板對一道題進(jìn)行演變，再通過添加輔助線反復(fù)練習(xí)，可使學(xué)生很快掌握這一難點(diǎn)并靈活應(yīng)用.

例1：如圖，∠BED=70°，∠B=30°，∠D=40，試說明AB∥CD.

通過作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角，經(jīng)過分析做法如下：

解：過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠BEF=∠B=30°，

∵∠BED=70° ，∴∠FED=40°.

又∵∠D=40°，∴∠FED=∠D，

∴EF∥CD， ∴AB∥CD.

變式一：若∠B+∠D=∠BED， AB 、CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由.

解：AB∥CD.理由如下：

過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠BEF=∠B，

∴∠BED=∠B+∠FED.

∵∠BED=∠B+∠D，

∴∠D=∠FED，

∴CD∥EF，

∴AB∥CD.

變式二：如圖，當(dāng)AB∥CD時，∠BED、∠B、∠D之間有怎樣的關(guān)系？說明理由.

解：∠B+∠D=∠BED.理由如下：

過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠BEF=∠B.

又∵AB∥CD，

∴CD∥EF，

∴∠D=∠FED.

∵∠BED=∠B+∠FED，

∴∠BED=∠B+∠D.

一道題、一個圖，輔助線的做法都一樣，條件不同，結(jié)論就發(fā)生變化.由特殊到一般，使學(xué)生初步掌握輔助線的做法，對平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用有了更進(jìn)一步的認(rèn)識.

利用幾何畫板把這個圖形稍加改動，這道題又會有怎樣的變化呢？利用幾何畫板把點(diǎn)E慢慢拽到如下圖所示的位置，讓學(xué)生清晰地看到圖形怎樣從左圖變化到右圖，附加條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練.

變式三：若AB∥CD，∠BED、∠B、∠D之間有怎樣的關(guān)系？說明理由.

通過做輔助線構(gòu)造同旁內(nèi)角，經(jīng)過分析做法如下：

解：∠B+∠D+∠BED=360°.理由如下：

過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠B+∠BEF=180°.

又∵AB∥CD，

∴CD∥EF，

∴∠D+∠FED=180°，

∴∠B+∠BEF+∠D+∠FED=360°.

即∠B+∠D+∠BED=360°.

引導(dǎo)學(xué)生思考：把條件和結(jié)論交換，結(jié)果是否成立？學(xué)生討論，教師參與.

變式四：若∠B+∠D+∠BED=360°時，AB 、CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由.

解：AB∥CD.理由如下：

過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠B+∠BEF=180°.

∵∠B+∠D+∠BED=360°，

∴∠D+∠FED=180°，

∴CD∥EF，

∴AB∥CD.

利用幾何畫板把上述圖形中的點(diǎn)E拽到AB、CD的上方，并對最后一種情況給出條件和結(jié)論，進(jìn)行變式訓(xùn)練，學(xué)生討論，得出變式五.

通過做輔助線，構(gòu)成內(nèi)錯角.

變式五：如圖，當(dāng)AB∥CD時，你能得出∠BED、∠B、∠D之間有怎樣的關(guān)系嗎？說明理由.

解：∠D-∠B=∠BED.

過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠BEF=∠B.

∵AB∥CD，

∴CD∥EF，

∴∠D=∠FED.

∵∠FED-∠BEF=∠BED，

∴∠D-∠B=∠BED.

把條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得出新的變換.

變式六：如圖，當(dāng)∠D-∠B=∠BED時，AB 、CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由.

解：AB∥CD.理由如下：

過點(diǎn)E作EF∥AB，

∴∠BEF=∠B，

∵∠FED-∠BEF=∠BED.

又∵∠D-∠B=∠BED，

∴∠D=∠FED，

∴CD∥EF，

∴AB∥CD.

還可以把點(diǎn)E拽到AB、CD的下方，讓學(xué)生嘗試自己編題并通過幾何畫板進(jìn)行演示.

通過幾何畫板拽動點(diǎn)E，既直觀又形象地完成了圖形變化.在平行線的判定與性質(zhì)這一節(jié)中，過一點(diǎn)作已知直線的平行線這一輔助線的做法得到了充分練習(xí)，更重要的是，通過圖形的變化，使學(xué)生學(xué)會了這一類型題的做法，以后再遇到同一類題型，學(xué)生就會很快識別并迅速作答了.endprint