談幾何概型的轉(zhuǎn)化方向

王震

【摘要】幾何概型是在古典概型基礎(chǔ)上的一種拓展，它與古典概型的相同點(diǎn)是基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，不同點(diǎn)是古典概型要求的基本事件為有限個(gè)。幾何概型的基本事件為無(wú)限多個(gè)，由于幾何概型基本事件的無(wú)限性，我們?cè)诮鉀Q幾何概型的問(wèn)題時(shí)，需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與幾何測(cè)度有關(guān)的問(wèn)題來(lái)解決，也就是構(gòu)建確定的幾何模型來(lái)解決。下面運(yùn)用實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。

【關(guān)鍵詞】幾何概型 數(shù)學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）35-0155-02

一、轉(zhuǎn)化為以長(zhǎng)度為測(cè)度的幾何模型

例1：某公共汽車(chē)站每隔10分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá)，乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻是任意的，求乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)6分鐘的概率。

分析：將間隔10分鐘看作長(zhǎng)度為10的線段T1T2，乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)刻為線段T1T2上任意一點(diǎn)且到達(dá)每一點(diǎn)的可能性相等，則基本事件有無(wú)限多個(gè)，故是幾何概型。

解：如圖1

圖1

設(shè)上輛車(chē)于時(shí)刻T1到達(dá)，而下輛車(chē)于時(shí)刻T2到達(dá)，則線段T1T2的長(zhǎng)度為10，設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且TT2的長(zhǎng)為6，記“等車(chē)時(shí)間不超過(guò)6分鐘”為事件A，則事件A發(fā)生即當(dāng)點(diǎn)t落在線段TT2上。由D=T1T2=10，d=TT2=6，得P（A）= = =

故乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)6分鐘的概率為

點(diǎn)評(píng)：將以實(shí)際為背景且事件發(fā)生與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)線段（或弧度）長(zhǎng)度的比是求解幾何概型的一種重要方法。

二、轉(zhuǎn)化為已平面圖形面積為測(cè)度的幾何模型

例2：在邊長(zhǎng)為2的正△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是

分析：到△ABC某一頂點(diǎn)距離小于1的區(qū)域?yàn)橐栽擁旤c(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與△ABC交出的扇形內(nèi)，由于該扇形內(nèi)的點(diǎn)有無(wú)限多個(gè)，且每個(gè)點(diǎn)被取到的可能性相等，所以這是幾何概型問(wèn)題。

解：如圖2，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以1為半徑作圓，與△ABC交出扇形，當(dāng)點(diǎn)P落在三個(gè)扇形內(nèi)時(shí)符合要求。

故所求概率P= = =

圖2

點(diǎn)評(píng)：將事件發(fā)生與區(qū)域面積有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為平面圖形對(duì)應(yīng)面積的比是求解幾何概型問(wèn)題的重要方法。

三、轉(zhuǎn)化為空間圖形體積為測(cè)度的幾何模型

例3：一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中與正方體玻璃容器6個(gè)表面中至少有一個(gè)的距離不大于10，則就有可能撞到玻璃上面而不安全，若始終保持與正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是

分析：將蜜蜂看作點(diǎn)，則蜜蜂所處的位置是正方體內(nèi)的立體空間，在這個(gè)空間內(nèi)的點(diǎn)事無(wú)限的，因此這個(gè)問(wèn)題也是幾何概型問(wèn)題。

解：記“蜜蜂能夠安全飛行”為事件A，則它位于與正方體容器6個(gè)表面的距離均大于10的區(qū)域即棱長(zhǎng)為10的正方體區(qū)域，其體積為V1，飛行時(shí)是安全的，記棱長(zhǎng)為30的正方體的體積為V，故P（A）= = =

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵要構(gòu)造滿足條件的空間圖形，從而計(jì)算總空間的體積及事件發(fā)生空間的體積。

四、轉(zhuǎn)化為變?cè)蛶缀胃判蛦?wèn)題

例4： 在長(zhǎng)度為10的線段內(nèi)任取兩點(diǎn)將線段分為三段，求這三段可以構(gòu)成三角形的概率。

分析：設(shè)長(zhǎng)度為10的線段被分為三段的長(zhǎng)度分別為x，y，10-（x+y）。由x， y，10-（x+y）均在區(qū)間（0，10）內(nèi)，以及三角形任意兩邊之和大于第三邊可得0

點(diǎn)評(píng)：有些幾何概型問(wèn)題，需要借助于設(shè)置變量將問(wèn)題體現(xiàn)，從而運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)解決，這類(lèi)題難度較大，充分理解題意、將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、然后利用熟悉的知識(shí)解決是解題的關(guān)鍵。