談幾何概型的轉化方向

王震

【摘要】幾何概型是在古典概型基礎上的一種拓展，它與古典概型的相同點是基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，不同點是古典概型要求的基本事件為有限個。幾何概型的基本事件為無限多個，由于幾何概型基本事件的無限性，我們在解決幾何概型的問題時，需要將問題轉化為與幾何測度有關的問題來解決，也就是構建確定的幾何模型來解決。下面運用實例進行說明。

【關鍵詞】幾何概型 數(shù)學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）35-0155-02

一、轉化為以長度為測度的幾何模型

例1：某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求乘客候車時間不超過6分鐘的概率。

分析：將間隔10分鐘看作長度為10的線段T1T2，乘客到達車站的時刻為線段T1T2上任意一點且到達每一點的可能性相等，則基本事件有無限多個，故是幾何概型。

解：如圖1

圖1

設上輛車于時刻T1到達，而下輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為10，設T是線段T1T2上的點，且TT2的長為6，記“等車時間不超過6分鐘”為事件A，則事件A發(fā)生即當點t落在線段TT2上。由D=T1T2=10，d=TT2=6，得P（A）= = =

故乘客候車時間不超過6分鐘的概率為

點評：將以實際為背景且事件發(fā)生與區(qū)域長度有關的問題轉化為對應線段（或弧度）長度的比是求解幾何概型的一種重要方法。

二、轉化為已平面圖形面積為測度的幾何模型

例2：在邊長為2的正△ABC內任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是

分析：到△ABC某一頂點距離小于1的區(qū)域為以該頂點為圓心，1為半徑的圓與△ABC交出的扇形內，由于該扇形內的點有無限多個，且每個點被取到的可能性相等，所以這是幾何概型問題。

解：如圖2，分別以點A，B，C為圓心，以1為半徑作圓，與△ABC交出扇形，當點P落在三個扇形內時符合要求。

故所求概率P= = =

圖2

點評：將事件發(fā)生與區(qū)域面積有關的實際問題，轉化為平面圖形對應面積的比是求解幾何概型問題的重要方法。

三、轉化為空間圖形體積為測度的幾何模型

例3：一只小蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內隨機飛行，若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器6個表面中至少有一個的距離不大于10，則就有可能撞到玻璃上面而不安全，若始終保持與正方體玻璃容器內飛行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是

分析：將蜜蜂看作點，則蜜蜂所處的位置是正方體內的立體空間，在這個空間內的點事無限的，因此這個問題也是幾何概型問題。

解：記“蜜蜂能夠安全飛行”為事件A，則它位于與正方體容器6個表面的距離均大于10的區(qū)域即棱長為10的正方體區(qū)域，其體積為V1，飛行時是安全的，記棱長為30的正方體的體積為V，故P（A）= = =

點評：對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵要構造滿足條件的空間圖形，從而計算總空間的體積及事件發(fā)生空間的體積。

四、轉化為變元型幾何概型問題

例4： 在長度為10的線段內任取兩點將線段分為三段，求這三段可以構成三角形的概率。

分析：設長度為10的線段被分為三段的長度分別為x，y，10-（x+y）。由x， y，10-（x+y）均在區(qū)間（0，10）內，以及三角形任意兩邊之和大于第三邊可得0

點評：有些幾何概型問題，需要借助于設置變量將問題體現(xiàn)，從而運用有關的知識解決，這類題難度較大，充分理解題意、將問題進行轉化、然后利用熟悉的知識解決是解題的關鍵。