常用輔助線在圓中的運(yùn)用

李進(jìn)

常用輔助線在圓中的運(yùn)用

李進(jìn)

我們知道解與圓有關(guān)的幾何問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為基本圖形，從而方便求解.為幫助大家正確理解并掌握?qǐng)A中有關(guān)計(jì)算或證明題的一般解法，現(xiàn)就圓中輔助線的常規(guī)作法分類例析如下.

一、連接半徑（或直徑），利用圓心角和圓周角相關(guān)知識(shí)解題；構(gòu)造直角三角形或特殊的四邊形等.

例1（2017·南京）如圖1，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接PO，交⊙O于點(diǎn)D.

（1）求證：PO平分∠APC；

（2）連接DB，若∠C=30°，求證：DB∥AC.

圖1

【解析】考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

（1）連接OB，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答；

（2）先證明△ODB是等邊三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到DB∥AC.

證明：（1）如圖2，連接OB，

圖2

∵PA，PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，∴PO平分∠APC；

（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP=∠OBP=90°，∵∠C=30°，∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC=∠APC=30°，∴∠POB=90°-∠OPC=60°，又OD=OB，∴△ODB是等邊三角形，∴∠OBD=60°，∴∠DBP=∠OBP -∠OBD=30°，∴∠DBP=∠C，∴DB∥AC.

【點(diǎn)評(píng)】遇到切線問(wèn)題，一般需要連接過(guò)切點(diǎn)的半徑或直徑.

二、圓中有弦，常作弦心距，或者作垂直于弦的半徑或直徑（有時(shí)還要連接過(guò)弦端點(diǎn)的半徑）.

例2（2017·金華）如圖3，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點(diǎn)D.E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE交⊙O于點(diǎn)F，連接OC、AC.

圖3

（1）求證：AC平分∠DAO.

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°：

①求∠OCE的度數(shù)；

②若⊙O的半徑為2，求線段EF的長(zhǎng).

【解析】考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

（1）由切線性質(zhì)知OC⊥CD，結(jié)合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC，從而得證.

（2）①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°，結(jié)合∠E=30°可得答案；②作OG⊥CE，根據(jù)垂徑定理及等腰直角三角形性質(zhì)知CG=FG=OG，由OC=2得出CG=FG=OG=2，在Rt△OGE中，由∠E=30°可得答案.

（1）證明：∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OC= OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAO.

（2）解：①∵AD∥OC，∴∠EOC=∠DAO=105°，∵∠E=30°，∴∠OCE=45°；

圖4

三、和函數(shù)知識(shí)結(jié)合時(shí)，作與直角坐標(biāo)系有關(guān)的輔助線.

例3（2017·無(wú)錫）如圖5，以原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），P是半徑OB上一點(diǎn)，過(guò)P且垂直于AB的直線與⊙O分別交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），直線AC，DB交于點(diǎn)E.若AC∶CE=1∶2.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E，且頂點(diǎn)在直線CD上的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

圖5

圖6

【解析】（1）如圖6，作EF⊥y軸于F，DC的延長(zhǎng)線交EF于H.設(shè)H（m，n），則P（m，0），PA= m+3，PB=3-m.首先證明△ACP∽△ECH，推出，推出CH=n，EH=2m+6，再證明△DPB∽△DHE，推出，可得，求出m即可解決問(wèn)題.

（2）由題意設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-5），求出E點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解決問(wèn)題.

解：（1）如圖6，作EF⊥y軸于F，DC的延長(zhǎng)線交EF于H.設(shè)H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3-m.

∴m=1，∴P（1，0）.

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，

連接OC，在Rt△OCP中，

∵拋物線的對(duì)稱軸為CD，∴（-3，0）和（5，0）在拋物線上，

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），把E（9，6 2）代入得到a=，∴拋物線解析式為，即

【點(diǎn)評(píng)】圓與函數(shù)的結(jié)合成為今年考試的熱點(diǎn)題型，同時(shí)也是難點(diǎn)題型，所以大家在以后的學(xué)習(xí)中要多加關(guān)注.二次函數(shù)的知識(shí)將在以后的章節(jié)中學(xué)習(xí).

四、兩個(gè)相交圓作其公共弦，兩圓相切公切線，圓與圓之間連接兩圓心.

例4（1999·青島）如圖7，O1和O2都經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD交O1于C，交O2于D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF交O1于E，交O2于F.

求證：CE∥DF.

圖7

【解析】如圖8，連接AB.

圖8

∵四邊形ABEC是⊙O1的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD=∠E.

又∵四邊形ABFD是⊙O2的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD+∠F=180°，

∴∠E+∠F=180°，∴CE∥DF.

【點(diǎn)評(píng)】這類題型很少考到，在以后學(xué)習(xí)中適當(dāng)關(guān)注就好.

小試牛刀

（2017·棗莊）如圖9，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn).

圖9

（1）試判斷直線BC與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若BD=2 3，BF=2，求陰影部分的面積.（結(jié)果保留π）

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）