常用輔助線在圓中的運用

李進

常用輔助線在圓中的運用

李進

我們知道解與圓有關的幾何問題時，常常需要添加適當的輔助線將復雜的圖形轉化為基本圖形，從而方便求解.為幫助大家正確理解并掌握圓中有關計算或證明題的一般解法，現就圓中輔助線的常規作法分類例析如下.

一、連接半徑（或直徑），利用圓心角和圓周角相關知識解題；構造直角三角形或特殊的四邊形等.

例1（2017·南京）如圖1，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，連接AO并延長，交PB的延長線于點C，連接PO，交⊙O于點D.

（1）求證：PO平分∠APC；

（2）連接DB，若∠C=30°，求證：DB∥AC.

圖1

【解析】考點：切線的性質.

（1）連接OB，根據角平分線性質定理的逆定理，即可解答；

（2）先證明△ODB是等邊三角形，得到∠OBD=60°，再由∠DBP=∠C，即可得到DB∥AC.

證明：（1）如圖2，連接OB，

圖2

∵PA，PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，∴PO平分∠APC；

（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP=∠OBP=90°，∵∠C=30°，∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC=∠APC=30°，∴∠POB=90°-∠OPC=60°，又OD=OB，∴△ODB是等邊三角形，∴∠OBD=60°，∴∠DBP=∠OBP -∠OBD=30°，∴∠DBP=∠C，∴DB∥AC.

【點評】遇到切線問題，一般需要連接過切點的半徑或直徑.

二、圓中有弦，常作弦心距，或者作垂直于弦的半徑或直徑（有時還要連接過弦端點的半徑）.

例2（2017·金華）如圖3，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點D.E是AB延長線上一點，CE交⊙O于點F，連接OC、AC.

圖3

（1）求證：AC平分∠DAO.

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°：

①求∠OCE的度數；

②若⊙O的半徑為2，求線段EF的長.

【解析】考點：切線的性質.

（1）由切線性質知OC⊥CD，結合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC，從而得證.

（2）①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°，結合∠E=30°可得答案；②作OG⊥CE，根據垂徑定理及等腰直角三角形性質知CG=FG=OG，由OC=2得出CG=FG=OG=2，在Rt△OGE中，由∠E=30°可得答案.

（1）證明：∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OC= OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAO.

（2）解：①∵AD∥OC，∴∠EOC=∠DAO=105°，∵∠E=30°，∴∠OCE=45°；

圖4

三、和函數知識結合時，作與直角坐標系有關的輔助線.

例3（2017·無錫）如圖5，以原點O為圓心，3為半徑的圓與x軸分別交于A，B兩點（點B在點A的右邊），P是半徑OB上一點，過P且垂直于AB的直線與⊙O分別交于C，D兩點（點C在點D的上方），直線AC，DB交于點E.若AC∶CE=1∶2.

（1）求點P的坐標；

（2）求過點A和點E，且頂點在直線CD上的拋物線的函數表達式.

圖5

圖6

【解析】（1）如圖6，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H.設H（m，n），則P（m，0），PA= m+3，PB=3-m.首先證明△ACP∽△ECH，推出，推出CH=n，EH=2m+6，再證明△DPB∽△DHE，推出，可得，求出m即可解決問題.

（2）由題意設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-5），求出E點坐標代入即可解決問題.

解：（1）如圖6，作EF⊥y軸于F，DC的延長線交EF于H.設H（m，n），則P（m，0），PA=m+3，PB=3-m.

∴m=1，∴P（1，0）.

（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，

連接OC，在Rt△OCP中，

∵拋物線的對稱軸為CD，∴（-3，0）和（5，0）在拋物線上，

設拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），把E（9，6 2）代入得到a=，∴拋物線解析式為，即

【點評】圓與函數的結合成為今年考試的熱點題型，同時也是難點題型，所以大家在以后的學習中要多加關注.二次函數的知識將在以后的章節中學習.

四、兩個相交圓作其公共弦，兩圓相切公切線，圓與圓之間連接兩圓心.

例4（1999·青島）如圖7，O1和O2都經過A，B兩點，經過點A的直線CD交O1于C，交O2于D，經過點B的直線EF交O1于E，交O2于F.

求證：CE∥DF.

圖7

【解析】如圖8，連接AB.

圖8

∵四邊形ABEC是⊙O1的內接四邊形，

∴∠BAD=∠E.

又∵四邊形ABFD是⊙O2的內接四邊形，

∴∠BAD+∠F=180°，

∴∠E+∠F=180°，∴CE∥DF.

【點評】這類題型很少考到，在以后學習中適當關注就好.

小試牛刀

（2017·棗莊）如圖9，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F.

圖9

（1）試判斷直線BC與O的位置關系，并說明理由；

（2）若BD=2 3，BF=2，求陰影部分的面積.（結果保留π）

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學）