利用向量的范數(shù)證明二元函數(shù)極值的充分條件

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(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040)

利用向量的范數(shù)證明二元函數(shù)極值的充分條件

譚暢，馬淑芳

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040)

基于線性代數(shù)中向量范數(shù)的相關(guān)理論，給出二元函數(shù)極值的充分性定理的一個(gè)新的證明，此方法形式簡明且便于理解。

二元函數(shù)；極值；充分條件；范數(shù)

一、定理證明的現(xiàn)行方法

二元函數(shù)取極值的充分性定理如下：

定理1 設(shè)二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)的某鄰域內(nèi)存在二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，記

A=fxx(x0，y0)，B=fxy(x0，y0)，C=fyy(x0，y0)

(1)若AC-B2>0，則f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)取得極值，進(jìn)一步地，當(dāng)A>0時(shí)，取極小值；當(dāng)A<0時(shí)，取極大值；

(2)若AC-B2<0，則f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)不取極值；

(3)若AC-B2=0，則f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)可能取極值，也可能不取極值。

許多教材，如菲赫金哥爾茨著《數(shù)學(xué)分析原理》[1]359中對二元函數(shù)極值充分條件的證明是充分且嚴(yán)格的，大致思想是將函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)做二階泰勒展開得：

f(x，y)-f(x0，y0)

二、利用向量的范數(shù)證明定理

首先介紹一種向量的范數(shù)及范數(shù)的等價(jià)性定理。

定理2[10]142設(shè)‖·‖α和‖·‖β為Rn上任意兩種范數(shù)，則存在正常數(shù)c1和c2，使得對一切向量X∈Rn有：

c1‖X‖β≤‖X‖α≤c2‖X‖β

下面給出本文定理的證明：

記

(1)若AC-B2>0，且A>0，則Q為對稱正定矩陣，故

由范數(shù)的等價(jià)性，存在正常數(shù)c1和c2，使得：

c1ρ=c1‖X‖2≤‖X‖Q≤c2‖X‖2≤c2ρ

因此α1h2+2α2hk+α3k2=o(ρ2)。由此易知f(x，y)-f(x0，y0)的符號由Ah2+2Bhk+Ck2確定。當(dāng)X≠0時(shí)，Ah2+2Bhk+Ck2=‖X‖Q2>0，f(x，y)-f(x0，y0)>0，故f(x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)取得極小值。

(3)若AC-B2=0，函數(shù)z=x3+y3及z=x4+y4在點(diǎn)(0，0)均滿足AC-B2=0，(0，0)是后者的極值點(diǎn)，但不是前者的極值點(diǎn)。證畢。

三、結(jié)論

基于線性代數(shù)中向量范數(shù)的相關(guān)知識給出了二元函數(shù)取極值充分性定理的一個(gè)新的證明，所用的方法可以幫助學(xué)生靈活運(yùn)用各科知識，拓寬解決問題的思路。相較于經(jīng)典的分析方法，此方法更為直接而且形式簡明。

[1]菲赫金哥爾茨.微積分教程[M].路可見，余家榮，吳親仁譯.北京：高等教育出版社，1959.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(下冊)[M].北京：高等教育出版社(第5版)，2008.

[3]李國瑩.多元函數(shù)極值充分條件的證明[J].中國大學(xué)教學(xué)，1987，(5)：42—44.

[4]張家璉，宋述剛.關(guān)于二元函數(shù)極值存在的充分性定理的證明[J].荊州師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1990，(2)：18—20.

[5]王敏芝.關(guān)于多元函數(shù)的極值判別準(zhǔn)則[J].浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24(5)：83—87.

[6]王欣.二元函數(shù)極值充分條件的證明及條件極值的判定[J].沈陽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996，(2)：82—85.

[7]汪全珍.多元函數(shù)極值判別法的一個(gè)證明[J].高等數(shù)學(xué)研究[J]，2009，12(2)：39—40.

[8]郭常予，徐玲等.多元函數(shù)極值問題的分析與研究[J].中國科技論文在線精品論文.2009，2(1)：6—10.

[9]吳海玉，馮志剛.多元函數(shù)極值充分性定理的另一證明[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，24(6)：7—9.

[10]徐樹芳，高立，張平文.數(shù)值線性代數(shù)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2013.

AProofofSufficientConditionforExtremumofBinaryFunctionbyUsingVectorNorm

TAN Chang，MA Shu-fang

(College of Science，Northeast Forestry University，Harbin150040， China)

Based on the theory of vector norm in linear algebra， a new proof ofsufficient condition for the extremum of binary functionis is given， which is simple and easy to understand.

binary function；extremum；sufficient condition；norm

O171

：A

：1008-6714(2017)09-0085-02

〔責(zé)任編輯：李海波〕

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.09.038

2017-05-02

東北林業(yè)大學(xué)教育教學(xué)研究項(xiàng)目(DGY2016-45)

譚暢(1982—)，女，吉林吉林人，講師，博士研究生，從事計(jì)算機(jī)代數(shù)教學(xué)研究。