以代數思想為主線—線性代數和高等代數課程教學的相通與兼容

王秀麗

摘要： 本文主要從線性代數和高等代數的一些知識點間的內在聯系入手，在實際教學中進行相通與兼容的處理手法，從而更好的增進學生對這兩門課程的認識與理解，進而更好的學習它們。

關鍵詞： 線性代數；高等代數；對角矩陣；二次型；標準型

【中圖分類號】 O153

Algebra Ideal as Main Line- Dealing with them by the Comparable and Compatible Way in the Process of Teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra

（Science college， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， P. R. China）

Abstract： In this paper， we principally discuss the relation of knowledge about Linear Algebra and Advanced Algebra. Dealing with them by the comparable and compatible way in the process of teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra， and make student realize and comprehend them better， furthermore learn them better.

Key words： Linear Algebra； Advanced Algebra； Diagonal matrix； Quadratic form； Standard form

資助項目：2014中國民航大學教育教學改革研究課題（項目編號：CAUC-ETRN-2014-54）資助。

1.引言

理工科學生從大一下學期開始一學期的線性代數的學習，數學專業（包括信息與計算科學專業）的學生從大一上或下學期開始為期一年的高等代數的學習。線性代數內容相對高等代數來說簡單一些，但一些結論通常不給出證明，而在高等代數中往往會找到相關結論的定理的證明，如果在線性代數課堂適當引入這些證明，學生會有新鮮感和深度感，從而更加認可老師的知識儲備，進而更喜歡聽老師所講的內容；高等代數比線性代數多了不少內容，除了多項式之外，還多了 矩陣，歐幾里得空間等章節，內容相對線性代數來說要復雜一些，學生會覺得抽象而且無從下手，如果能從線性代數的角度，抓住主要的脈絡及代數思想，給學生理清頭緒，會讓學生覺得輕松很多，從而增加學習高等代數的興趣。在線性代數和高等代數課程實際教學中，抓住代數思想這根主線，進行二者相通、兼容方面的探索與實踐是非常必要和有意義的。

2. 以代數思想為主線-線性代數和高等代數課程教學的相通與兼容

線性代數與高等代數有非常密切的聯系，只是線性代數是理工科的公共基礎課，而高等代數是數學專業的專業課。本文接下來主要從二次型化標準型方面討論線性代數和高等代數在教學中相通兼容之處。

2.1二次型化標準型

二次型化標準型，線性代數和高等代數相通的地方就是都涉及了對稱陣的對角化問題。在高等代數中，二次型化標準型主要有如下三種方法，設所研究的二次型有如下形式：

（1） 配方法：用配方法化二次型為標準型的關鍵是消去交叉項，分如下兩種情形處理：

情形1：如果 ，則集中二次型中含 的所有交叉項，然后與 配方，并作非退化線性替換

對 重復上述方法直到化二次型 為標準型為止。

情形2：如果二次型 不含平方項，即 ，但含某一個 ，則可先作非退化線性替換

把 化為一個含平方項 的二次型，再用情形1的方法化為標準型。

（2）初等變換法：

用非退化線性替換 化二次型 為標準型，相當于對對稱陣 找一個可逆矩陣 ，使 為對角陣。由于可逆矩陣 可以寫成若干初等矩陣 的乘積，即 ，從而有 ，

。根據初等變換的有關性質（用初等矩陣左（右）乘矩陣 相當于對 作一次初等行（列）變換），由上式可得到用初等變換法化二次型為標準型的步驟如下：

第一步 寫出二次型 的矩陣 ，并構造 矩陣 ；

第二步 對矩陣 進行初等行變換和同樣的初等列變換，把 化為對角陣 ，并對 施行與 同樣的初等列變換化為矩陣 ，此時 ；

第三步 寫出非退化線性替換 ，化二次型 。這個方法的示意圖如下

（3）正交變換法：

寫出二次型 的矩陣 ，求矩陣 的特征值 及相應的特征矢量 ，把特征矢量正交化單位化得 ，把正交化單位化后的特征矢量作為列矢量組成正交矩陣 ，做正交變換 ，則有二次型化為標準型

。

在線性代數中提及了配方法和正交變換法，著重考察正交變換法，對于初等變換法沒有涉及，因此在線性代數實際的教學中，可適當引進初等變換法，比起正交變換法，學生更熟悉，簡單且易于把握。最后還要從幾何的角度告訴學生，正交變換的好處是保持矢量的長度不變，更直觀的是，在三維幾何空間中，當 時，對應的是坐標軸的旋轉變換，進而可把二次曲面的方程化簡成標準型，從標準型我們就能判別它是何種曲面了。像這樣，在線性代數教學中滲透高等代數和幾何的知識，使之相互影響，能更好的激發學生學習線性代數的興趣和探索代數系統奧秘的動力。

3. 總結

總之，線性代數和高等代數這兩門課程在內容上有諸多的相通之處，如果在實際教學中能抓住“代數思想”這根“線”，很好地把二者相結合，相輔相成，必定會對這兩門課的教學效果和教學質量起到積極的促進作用。

參考文獻

[1] 北京大學數學系幾何與高等代數教研室代數小組編. 高等代數（第三.版）[M]. 北京，高等教育出版社，2003

[2] 工程數學-線性代數. 同濟大學數學系（第五版）[M]. 北京，高等教育出版社，2007

[3 ]高等代數（導學 ·導教· 導考）. 徐仲，陸全等（第二版）[M]. 西安，西北工業大學出版社，2006endprint