《植樹問題2——方陣》的教學思考與實踐研究

陳俊

中圖分類號；G623.5

《數學課程標準》提出：“數學不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。”新課程鼓勵學生在獨立思考的基礎上，主動探究，提倡“算法多樣化”并能建立簡單的數學模型。但在平時教學中常常遇到這樣幾個問題：算法“多樣化”后要不要“優化”？是不是都要“優化”？怎樣的方法才是“最優的”？數學模型什么時候建？要建立怎樣的數學模型？

一.擇實探究——方法多樣

《數學課程標準》明確指出：由于學生的生活背景和思考角度的不同，每位學生的思維水平的差異性必然導致所使用的方法必然是多樣的，教師應尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡方法的多樣化。而方法多樣化帶來的另一個現實要求是適時引導學生對多種方法進行比較分析，找出其中的規律，最終實現方法的優化。但是，在教學中，方法多樣化與合理優化的關系到底該怎么處理？怎樣把握其中的“度”呢？

【案例1】《植樹問題2——方陣》

情景引入

師：你們看，這里有幾盆花？

師簡介：“用25盆花擺成了5行5列的正方形陣形叫5×5的方陣。”（板書：方陣）

師：“現在老師拿掉中間的花（課件演示中空方陣），最外面一層每邊擺5盆（每個頂點都要放一盆），總共需要幾盆？

揭題：研究方陣

擇實探究

師：為了方便研究，我們把盆花用點表示。

5×5的方陣最外一層共有幾個點？你有幾種方法？（提供研究單）

生獨立探究、小組合作——四人小組交流——展示匯報（要求說出思路和理由）

方法一：5×4-4=16 方法二：（5-1）×4=16 方法三：（5-2）×4+4=16

方法四：5×2+（5-2）×2=16 方法五：5×5-（5-2）×（5-2） =16

師：“比較這五種方法，你有什么想說的？”

生說：雖然這幾種方法看上去不一樣，但其實都考慮到四個頂點，重復算就減掉，沒有算就加進。

方法六：8×2=16 方法七：2×8=16

師（指著方法六和七）：“那你們看這兩種方法怎么想到？”

生1：“我是把它分成兩類，然后數一下。”

生2：“我是兩個兩個數的。”

師：“那你們看這兩種方法怎么樣？”

生：“當每行的個數比較少的時候還可以，但每行的個數比較多的時候就不方便了。”

師：“每種方法都有它的優點你比較喜歡哪一種？”（生自己思考自己喜歡的一種）

師：“每位同學擅長的也都不一樣，請你記住一種你最欣賞的方法。”

【思考】

其實優化的過程只是學生不斷體驗與感悟的過程，而不是教師強制灌輸的過程。對一個個體而言，他總是使用自身熟悉或習慣的算法解決問題，因此，個體在解決問題時根本沒有必要掌握多種算法，教師應該幫助學生建立幾種方法之間的聯系。

二.準確拿捏——擇時建模

《數序課程標準》提出學生要親身經歷建立數學模型的過程。那么在建模的過程中，我們也常常遇到這樣幾個問題：在不強調數量關系和未學過字母表示的數的情況下要不要建模？什么時候建模比較合適？要建立怎樣的數學模型比較恰當？

【案例1】第一次建模

在學生學習了方陣每邊5個點后，分小組合作探究當每邊其它點數時，用自己喜歡的方法計算出總點數，然后找出內在規律。

教師提供研究單：

最外層每邊放的個數（4個頂點都要放） 最外層一共放的個數

我發現每邊n個時，總個數是

通過研究發現，學生知道每個具體個數時能用自己的方法算出總個數，但當每邊n個時，學生不知所然。

學生1：“老師，n是幾個？”

學生2：算出總個數是n，問其怎么想的，說：“n表示不知道，那么總個數也是不知道，所以用n表示。”

【反思】這是一次失敗的嘗試（平行班試教），是不是因為四年級的學生還沒有學過字母表示數的原因？還是數學模型的建立需要些什么？筆者進行了第二次嘗試。

【案例2】第二次建模

1.鞏固方法：在研究每條邊5個棋子的方陣后，師出示：“如果每條邊改成10個棋子，你能求出總顆數嗎？”

學生用自己喜歡的方法列式計算，匯報。（學生列出算式后，問他采用的是哪種方法。）

2.生活運用：圍棋盤的最外層每邊能放25個棋子。最外層一共可以放幾個棋子？

①25×4-4=96 ②（25-1）×4=96

③（25-2）×4+4=96 ④25×2+23×2=96

⑤25×25-23×23=96

3.因勢利導：師：“如果每條邊有n個棋子你還能用你的方法列出算式嗎？”

生1：“n×4-4”。

師：“他用的是哪一種方法？”

生：“第一種。”

師：“那如果用其它的方法你也能列出算式嗎？”

生2：“（n-1）×4”。

生3：“（n-2）×4+4”。

【思考】《數學課程標準》倡導以“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”作為小學數學課程的一種基本敘述模式。在之前放手讓學生獨立思考和小組討論并沒有得出基本的模型，經歷第二次嘗試在加深理解、鞏固練習和因勢利導下學生自然而然地得出了自己那種方法的基本模型。

思考第一次建模為什么失敗？數學模型需要學生有獨立自主的研究能力和知識的抽象概括能力。顯然第一次是老師理想狀態下的建模學習，小學生的認知水平、學習能力并沒有達到這種狀態。在第二次建模中堅持讓學生用同一種方法解決不同情形的問題，從而能輕而易舉地讓學生對每一個算式用精確的語言進行描述。當學生對自己的方法理解到位同時能用語言描述時也是建立數學模型的水到渠成時。

【結語】學生的思維存在差異性和層次性，我們的老師需要慢慢等待，不應為了優化而優化，為了建模而建模，一切建立在學生的基礎上。讓每位孩子的潛能都得到開發，每位孩子在數學學習上都得到不同的發展。