運用轉化與化歸 巧求取值范圍

王建寧

【摘要】轉化與化歸思想是高中數學中的重要思想方法之一，它是學生將未知領域的問題轉化為已有的知識體系進而解決問題的關鍵。教師在教學中應當不斷加強轉化與化歸思想的滲透和培養。文章結合兩道習題再現了這種數學思想的重要性。

【關鍵詞】轉化與化歸思想；線性規劃；取值范圍

轉化與化歸思想是高中數學中的基本思想方法之一，這一重要的數學思想在學生學習過程中能將新舊知識聯系起來，在應用已經掌握的知識和方法來解決新問題的過程中不可或缺，它是培養學生創新能力的關鍵。因此在高中數學教學中要不斷加強轉化與化歸思想的滲透，使學生面對很多實際問題適時劃歸，突破難點，運用學過的知識高效快捷準確的解決問題。而線性規劃問題是高中數學的基礎內容，面對的問題多以最值問題呈現，實際生活中總有利潤最大、風險最小、產量最高等實際問題與之對應。

下面我將結合自己在教學實踐中遇得到兩個例題談談轉化與化歸思想在線性規劃中的體現、應用及滲透。

在高一數學中有這樣一道題目：已知且，，求的取值范圍.

當時已經學習了不等式的相關性質，學生很快根據已知條件分別求出了a與b的取值范圍.

即由，可得

，

所以

即的取值范圍為.

學生做完之后，教師問了一句“對嗎？”一部分學生很快進行了檢查在確定沒有運算錯誤的前提下十分自信地點了點頭。但是教師在黑板上給出了如下解題過程：

設

由2x+y=1，-x+y=-5可得x=2，y=-3

所以

由可得

所以

即a-5b的取值范圍為.

顯然，學生求解的范圍變大了，為什么呢？基于學生在高一的認知水平和知識體系，只能對學生解釋：這里的兩個變量是相互制約的，當a變大時，b相應地要變小，才能使不等式成立，也就是說不能同時取到最大值。比如時，如果，那么顯然與相矛盾。學生好像有所理解，但是對學生而言，初次接觸這類題目，感覺解法好奇怪，還很難上升到道理性認識。

時間轉眼到了高二，教學過程中遇到了這樣一道習題：設等差數列的前n項和為，若，求的取值范圍.

有部分學生給出了如下解決方案：

數列是等差數列，設其首項為a1，公差為d

則，

由題可知

分別求出

因為

又

即.

此時，另有一部分學生對這種解法提出疑問，曾經在高一時講過的一個例題和這道題很相似并且通過查閱錯題本很快找到了前面的習題，給出了這種解法存在的問題：a1與d相互制約而不能同時取得最大值。然后給出了下面的解法：

解：因為數列是等差數列，設其首項為a1，公差為d

則，

設

可得

解得

得到

所以的取值范圍是.

至此，相信大多數學生對這類習題都有了較為深刻的認識，將習題2劃歸到習題1的解法上，只是提出問題的形式有所不同，但考察的實質相同。這就要求學生在解題過程中運用轉化的思想將問題劃歸到能解決的已知問題上，而不是受惑于問題的表象和字母的選取與表現形式。此刻學生情緒高漲，問題解決到這里也很完美。但是與高一相比，學生已經學習了線性規劃的相關知識，因而可以將這道習題再做如下探討：

觀察已知條件：題中給出的取值范圍，相當于告訴我們，求的取值范圍.

問題可看成在線性約束條件①下，求目標函數的取值范圍.

引導學生給出由約束條件①確定的平面區域為平行四邊形（如圖）：

由圖可知目標函數在點處取到最大值，；在點處取到最小值，

所以的取值范圍為.

與上面的結果相同，可謂殊途同歸。運用轉化與化歸的思想將這個問題劃歸到線性規劃的方向上，確定可行域，進而求出目標函數的最大值與最小值，確定S9的取值范圍，是求解此類問題的又一個方向，既體現了一題多解和一題多變的思想，又充分體現了數形結合思想，在滲透數學思想，提高學生運用數學知識解決問題的能力，培養學生的數學素養方面都能取得良好的效果。

而且通過求解過程還可以看到前面先分別求出a1與d范圍再求出的取值范圍出錯的原因。由作為約束條件得到的是平面區域為矩形，目標函數最值在點和點處分別取到，即，所以.

顯然可行域發生變化是本題產生錯誤的最根本原因。如果此時再讓學生將錯題本上的習題1運用線性規劃的知識重新求解，絕大多數學生都能順利完成，而且結合圖形能分析出分別求出a和b的范圍而出錯的原因，從而對這道曾經的遺留問題產生新的認識，正是“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”。

當然，轉化與化歸思想在高中數學中非常常見，正是這一經典的數學思想引導學生將未知領域的問題不斷劃歸到已知領域，利用已有的知識解決新問題。教師在平時的教學過程中要不斷加強這一數學思想的滲透，才能不斷提升學生的數學素養，培養學生的應用創新能力。endprint