提高數學整體與部分閱讀，妙解函數的數形結合問題

☉湖南省長沙市長郡中學 王小偉

提高數學整體與部分閱讀，妙解函數的數形結合問題

☉湖南省長沙市長郡中學 王小偉

數形結合法是高中數學常用的分析方法之一，也是高考必考內容之一，但不少的學生在該知識點上卻得分較低，究其原因大多為讀圖、識圖、用圖能力較弱，無法實現“數”與“形”之間的轉化，無法準確地完成對問題的閱讀.

數形結合法可從“線”與“點”兩個層面分析研究：

（1）“數形結合”指的是從整體角度利用函數圖像“線”分析函數的性質及其他結論，利用數形結合法分析問題，教師一般都是從這個角度引導學生分析的.

（2）“以點為主”指的是從部分角度利用函數圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的點，達到分析的目的，這點容易被教師和學生忽視.

下面筆者就從高中數學在實際教學中的一些體會與做法以饗讀者，供大家批評與指正.

一、研究讀圖類型問題

圖1

例1 已知定義在區間［0，1］上的函數y=f（x）的圖像如圖1所示，對于滿足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，給出下列結論：

①f（x2）-f（x1）＞x2-x1；

②x2f（x1）＞x1f（x2）；

其中正確結論的序號是________（把所有正確結論的序號都填上）.

解析：“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”分析函數的性質不易獲得結論，我們可以利用“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的點.

由圖可知（0，0），（1，1）這兩點連線的斜率等于1，由（fx2）-（fx1）＞x2-x1，可得，即圖中任意兩點（x1，f（x1））與（x2，f（x2））連線的斜率大于1，顯然①不正確.

由x2（fx1）＞x1（fx2）得，即表示兩點（x，1f（x1）），（x2，f（x2））與原點連線的斜率的大小，可以看出結論②正確.

任意找兩點（x1，（fx1）），（x2，（fx2）），則表示兩點縱坐標和的一半表示該兩點中點的縱坐標，結合函數圖像（圖2）容易判斷結論③是正確的.

圖2

答案：②③

二、研究超越類型問題

1.研究分段函數問題

A.（1，10）B.（5，6）

C.（10，12）D.（20，24）

分析：“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”繪出分段函數：（fx）=|lgx|，0＜x≤10與的圖像；再根據“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的點：（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））.

解：先繪制分段函數的圖像，如圖3.

圖3

若a，b，c互不相等，不妨設a＜b＜c，因為f（a）=f（b）=f（c），由圖像（圖4）可知0＜a＜1，1＜b＜10，10＜c＜12.

圖4

因為f（a）=f（b），所以|f（a）|=|f（b）|，所以lga=-lgb，即，所以ab=1，所以10＜abc＜12.

2.研究超越函數、超越方程問題

例3已知函數f（x）=|x2-4x+3|.

（1）求函數f（x）的單調區間，并指出其增減性；

（2）若關于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數根，求實數a的取值范圍.

分析：（1）“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”分析函數圖像翻折變換，“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的點，函數f（x）=|x2-4x+3|的圖像是利用f（x）=x2-4x+3的圖像翻折得到的，翻折的關鍵先找到f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點及頂點進行分析.（2）超越方程f（x）-a=x轉化成部分的兩個函數：f（x）=|x2-4x+3|與y=x+a.在函數f（x）=|x2-4x+3|的圖像的基礎上，分析直線y=x+a與f（x）=|x2-4x+3|的圖像幾個關鍵點：f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點、頂點，以及直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切的切點.

（1）遞增區間為［1，2］，［3，+∞），遞減區間為（-∞，1］，［2，3］.

圖5

（2）原方程變形為|x2-4x+3|=x+a，于是，設y=x+a，在同一坐標系下再作出y=x+a的圖像，如圖5，則當直線y=x+a過點（1，0）時，a=-1；當直線y=x+a與拋物線y=-x2+4x-3相切時，由3x+a+3=0，由Δ=0得.由圖像知，當時方程至少有三個不相等的實數根.

3.研究超越不等式問題

例4 當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2＜logax恒成立，求a的取值范圍.

分析：超越不等式（x-1）2＜logax轉化成兩個函數：y=（x-1）2與y=logax.從整體角度利用兩個函數圖像“線”進行分析；再根據“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的點：（1，0），（2，f（2））.

解：設y=（x-1）2與y=logax，要使當x∈（1，2）時，不等式（x-1）2＜logax恒成立，只需y=（x-1）2在x∈（1，2）上的圖像在y=logax的下方即可.

當0＜a＜1時，由圖像（圖6）知顯然不成立.

圖6

當a＞1時，如圖6，要使在x∈（1，2）上，y=（x-1）2的圖像在y=logax的下方，只需（2-1）2≤loga2，推得1＜a≤2.

4.研究導數應用中的數形結合問題

例5已知函數f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且對于任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0.

（1）已知函數g（x）=f（x）+2（x+1）=alnx在區間（0，1）上單調遞減，求實數a的取值范圍；

分析：導數在應用中常見對函數零點個數、方程根的個數的研究，一般這類問題均可將超越方程或函數，利用整體或部分思想閱讀并利用數形結合進行分析.

方法一：整體思想閱讀：將“函數h（x）=ln（1+x2）-有幾個零點？”轉化成函數k與x軸的交點個數.從整體角度利用函數h（x）=ln（1+x2）-圖像“線”分析圖像大致草圖；再根據“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的極值點或最值點的縱坐標與x軸的關系.

方法二：部分思想閱讀：將“函數h（x）=ln（1+x2）-有幾個零點？”轉化成兩個函數y=k與y=ln（1+交點的個數.從整體角度利用兩個函數圖像“線”分析；再根據“以點為主”從部分角度利用函數y=圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的極值點或最值點與函數y=k圖像的交點的個數.

解：（1）因為F（x）=f（x）+2=x2+bsinx-2+2=x2+bsinx，依題意，對任意實數x，恒有F（x）-F（-x）=0，即x2+bsinx-（-x）2-bsin（-x）=0，即2bsinx=0，所以b=0，所以f（x）=x2-2.

因為g（x）=x2-2+2（x+1）+alnx，即g（x）=x2+2x+alnx，所以

因為函數g（x）在（0，1）上單調遞減，所以在區間（0，1）上恒成立.

所以a≤-（2x2+2x）在（0，1）上恒成立.

而-（2x2+2x）在（0，1）上單調遞減，所以a≤-4為所求.

當x＜-1時，h′（x）＞0；當-1＜x＜0時，h′（x）＜0；當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0.

如圖（圖7）可知：

④當k=1時，函數有三個零點.

圖7

當x＜-1時，y′＞0；當-1＜x＜0時，y′＜0；當0＜x＜1時，y′＞0；當x＞1時，y′＜0.

如圖（圖8）可知：

圖8

④當k=1時，函數有三個零點.

三、體會與反思

通過以上可知函數的圖像法：大體上可以根據“數形結合，以點為主”兩個分析層面：

“數形結合”從整體角度利用函數圖像“線”分析函數的性質以及其他結論；

“以點為主”從部分角度利用函數圖像“點”分析研究圖像上一些關鍵的點，達到分析的目的.F