立體幾何常見題型及解法研究

☉安徽省宣城市宣城中學 梅 垚

立體幾何常見題型及解法研究

☉安徽省宣城市宣城中學 梅 垚

從高考對立體幾何部分的考查來看，該部分內容的難度處在中檔，學生只要掌握了一定的解題方法，就可以將這些分數得到.高中立體幾何的學習對于學生的空間想象能力具有較高的要求，外加學生早期并未接觸立體幾何類的問題，導致很多學生在面對立體幾何問題時，顯得手足無措.因此，研究高中數學立體幾何常見的問題類型和解題策略對于解除學生對立體幾何的心理障礙，提高學生立體幾何學習的信心和解題能力具有重要的意義.

一、高中數學立體幾何常見問題類型

1.證明題

證明類問題在高中幾何問題中較為常見，也是較為基礎的問題，該類型的問題主要包括垂直類、平行類等問題的證明，其中，垂直類問題主要包括異面直線的垂直、線面垂直、面面垂直等.

例1 在四棱錐P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，其中AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=4，E是PC的中點.證明：AE⊥CD；PD⊥平面ABE.

題目中要求證明兩條直線垂直和直線與平面垂直，其中兩條直線垂直可以通過證明兩條直線的方向向量垂直來實現，而直線與平面垂直又可以通過證明所在平面直線與直線垂直來實現.在證明第一個問題時，可以通過建立直角坐標系，根據題目中的已知條件標出C點、D點和E點的坐標，進而求出向量CD和向量AE的坐標式，最后根據向量AE垂直向量CD求出AE⊥CD.在證明第二個問題時，可以先根據P點坐標求出向量PD的空間坐標，根據向量AE和向量PD的乘積為零，進而得出PD⊥AE，又根據PD⊥AB，AB∩AE=A，最終求出PD⊥平面ABE.

平行類問題主要包括直線與直線之間的平行、直線與平面之間的平行、兩個平面之間的平行等.在證明這一類問題時可以通過以下幾種方法進行證明：第一，可以利用直線和平面平行的判定定理，由線線平行來推出線面平行.第二，可以利用兩個平面平行的性質定理，由面面平行來推出線面平行.

例2 正方形ABCD和正方形ABEF是兩個全等的正方形，它們所在的兩個平面相交于AB，其中M∈AC，N∈FB，并且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.

在解決這一問題時，可以通過作BC、BE的垂線MP和NQ，利用NQ、BN、MP、CM的數量關系求證MPQN為平行四邊形，再通過MN、PQ和平面BCE的關系得出證明結果.

2.計算題

在高中階段的立體幾何部分的計算題中主要包括點面距離的計算、空間角的計算和空間圖形體積的計算幾種類型.

第一，點到平面距離的問題是解決立體幾何部分距離問題的重點.在解決這一類問題的時候可以利用定義直接作出點到面的距離，再對它們進行計算，還可以將點和面轉化到一個幾何體中，利用錐體的體積公式來求出“高”.

第二，在高中數學立體幾何空間角部分的問題中，空間角主要包括兩條異面直線構成的角、直線和平面構成的角以及兩個平面構成的角.在解決這類問題時，都是通過尋找圖形的性質，尋找它們的特殊性質，例如：中點、垂線等，其過程主要包括三個步驟：“作”、“證”、“算”.首先，對于兩條異面直線構成的角可以采用平移法、補體法來構造空間角的特殊關系，以此更好地解決空間角問題.其次，對于直線和平面構成角的問題，關鍵在于尋找直線與平面的夾角，并作出相應的垂線.最后，對于二面角問題可以利用三垂線定理、定義法和垂面法來解決.

例3 在立體幾何圖形ABCDEFG中，四邊形ABCD是幾何體的底，并且是平行四邊形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，AB=2EF.如果AC=BC=2AE，求平面角A-BF-C的大小.

第三，體積問題也是高中數學立體幾何的重要組成部分，其主要涉及錐體和球體的體積計算，解決這類問題的主要思想就是圖形轉化，將未知圖形的體積問題轉化為已知圖形的體積問題.

3.拓展題

在高考數學立體幾何部分中，除了考查一些固定的點、線、面、角等問題，還會考查一些探究性、開放性的問題，這些探究性的問題也往往是圍繞來著點的位置、線的長度、空間角和體積的范圍來設計.在解決這類問題的時候，一方面，可以通過直接尋找點、線、面等相關量的方式求解，另一方面，可以通過“先假設、后驗證、再求解”的方式求解.通過對近幾年高考數學立體幾何問題的統計可以看出，對于拓展類的問題主要包括以下幾種：給定結論去探究問題成立條件；給定相關條件探究相關結論；假設結論存在探究該結論存在的真實性.隨著教育改革的實施，高考數學立體幾何部分的拓展題型也會不斷發展，會在形式上出現新的變化.

例4 在四棱錐P-ABCD中，PA垂直于四棱錐的底面ABCD，其中45°.在線段AD上是否存在一點G，使得G點到P、B、C、D之間的距離都相等？為什么？

二、高中數學立體幾何常用解題方法

高中數學立體幾何部分采用的解題方法多數集中在以下幾種：數形結合、向量方法、建模方法、合情推理等，其中數形結合、向量方法是最為常用的解題方法.

1.數形結合法

數形結合法就是通過“以數助形”、“以形助數”的方式將抽象的數學語言和直觀的數學圖形結合起來，將形轉化為數，或者將數轉化為形，能夠借助代數的相關知識完成幾何圖形的求解，在立體幾何解題中利用數形結合的方法能夠解決那些直接求解難以完成的問題.［1］從本質上來看，數形結合法就是根據“數”的結構特征，構造出對應的幾何圖形，利用幾何圖形的規律解決相關的數學問題.尤其是在選擇題和填空題上，由于不需要嚴格的計算過程，利用數形結合法能夠幫助學生快速打開思路，完成解題.

例5 一只小蟲在2m×3m×4m的長方體上爬行，它從頂點A爬到另一頂點所經過的最短距離是多少？

這是一個考查最短距離的立體幾何問題，學生在分析問題的過程中首先需要將空間中的距離問題轉化為平面內的距離問題，根據題目可以將空間距離轉化為以下幾種情況：

圖1

圖2

圖3

根據轉化成的平面圖形如圖1，圖2，圖3，就可以很直觀地求出從A點到另一頂點的最短距離.

2.向量法

向量不僅是高中階段數學學習的重要內容，還是高中數學解題的重要工具，在新的課程理念中就提到：在解決立體幾何問題中，要以向量法為主.［2］向量法主要應用于位置關系、數量關系兩部分，在位置關系部分，主要是利用直線的方向向量、平面法向量等知識來解決線線垂直、線面垂直、平行關系的判定等問題.在數量關系部分，主要利用空間坐標系與向量來解決夾角計算和距離計算的問題.

例6 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是四棱錐的底，并且為正方形，PD垂直于底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，過E點作BP的垂線EF交BP于點F.

證明：PA∥平面EDB.

在解決這一問題時，首先建立之間坐標系，通過直角坐標系求平面EDB的法向量，之后根據PA和法向量的乘積為零，可以求出PA∥平面EDB.

3.建模法

在高中立體幾何解題中，有很多圖形沒有明顯的垂直關系，難以建立空間直角坐標系，這時就需要構建一個無形的基底，借助這一基底將所需的向量表示出來，這就是建模法，它是利用向量的非坐標形式來解決幾何中具體問題的有效方法.

三、結束語

通過對立體幾何相關問題類型和解題策略的研究，能夠幫助教師和學生發現問題，改變通過題海戰術來提高學生解題能力的狀況，使學生真正體會到立體幾何的樂趣，進而提高學生對立體幾何問題的解題能力.

1.羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.張德峰.高中數學解題教學研究［J］.數學學習與研究，2010（9）.F