“依形定數”談函數問題的解答

☉江蘇省宜興市第二高級中學 吳勇珍

“依形定數”談函數問題的解答

☉江蘇省宜興市第二高級中學 吳勇珍

圖像是函數的主要表示形式，圖像能直觀展現出函數的相關性質，如單調性、對稱性、定點、零點等.在解答函數有關問題時，借助其圖像“依形定數”，往往能順利找到問題的突破口，實現對問題的簡潔求解.下面舉例加以說明.

引例（2017年山東卷）已知當x∈［0，1］時，函數f（x）=（mx-1）2的圖像與的圖像有且只有一個交點，則正實數m的取值范圍是（ ）.

解析：函數f（x）=（mx-1）2的圖像為拋物線，開口向上，對稱軸為頂點坐標為，與y軸的交點為（0，1）.

圖1

圖2

綜上所述，m的取值范圍為（0，1］∪［3，+∞）.故選B.

評析：本題求解的關鍵是準確作出兩函數的圖像，由形確定數的范圍.作圖時要注意挖掘函數的確定信息，如函數f（x）=（mx-1）2的圖像對稱軸、頂點坐標以及在y軸上的截距，函數可由的圖像向上平移m個單位得到.根據這些信息可確定分類討論的標準，從而快速確定參數的取值范圍.

一、準確尋找臨界狀態

圖3

解析：作出函數f（x）的圖像（如圖3）.方程f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數根，即直線y=a（x+1）與函數f（x）的圖像有三個不同的交點.

又直線y=a（x+1）過定點（-1，0），由圖3易知，當直線y=a（x+1）與曲線相切時，有兩個交點.設此時直線y=a（x+1）的斜率為k，即a=k.所以當0＜a＜k時，兩函數有三個不同交點，即已知方程有三個不同實根.因此只要求出k值，問題即可得解.

評析：導數的幾何意義：可導函數f（x）在某一點x=x0的導數值f′（x0），即為函數f（x）在點（x0，f（x0））處的切線的斜率.本題中參數范圍的確定，關鍵是找到直線y=a（x+1）與曲線相切時的臨界狀態，進而利用利用導數的幾何意義，求曲線的切線斜率.

二、巧借函數的對稱性

A.（0，1）B.（1，4）

C.（0，1）∪（1，+∞）D.（0，1）∪（1，4）

解析：由函數f（x）的圖像上有且只有兩個點關于y軸對稱，則y=logax與y=|x+3|關于y軸對稱的圖像僅有一個交點.函數y=|x+3|關于y軸對稱的函數為y=|3-x|，0＜x≤4.

當0＜a＜1時，如圖4所示，符合題意.

圖4

圖5

當a＞1時，如圖5，欲滿足題意，須loga4＞1，所以a＜4，即1＜a＜4.

故正確選項為D.

評析：兩個函數關于y軸對稱，只需要將已知函數中的x換為-x，y不變，即可得到.本題條件中函數f（x）的圖像上有且只有兩個點關于y軸對稱，則將y軸一側的函數圖像沿y軸對稱后，與另一側的函數圖像只有一個交點，使問題簡潔獲解.

三、把握函數的幾何意義

解析：由條件中所給關系式的特征，結合直線的斜率公式，假設，則問題等價轉化為直線y=kx與函數f（x）的圖像交點個數問題.

圖6

在平面直角坐標系內作出函數f（x）的圖像如圖6所示，由圖易知，直線y=kx與函數f（x）的圖像最多有3個交點，故n的最大值為3.

當n=2時，由圖易知，當直線y=kx與曲線g（x）=-x2+4x-3（1≤x≤3）相切時，k取得最大值.

設切點坐標為（x0，y0），對g（x）求導得g′（x）=-2x+4，所以k=g′（x0）=-2x0+4，則有，解得，所以k的最大值為

評析：過點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）的直線斜率k=，其中可視為過原點的某一直線的斜率，與此類型相關的函數問題，?？山柚本€的斜率求解.本題中將條件等價轉化為過原點的直線與函數圖像交點個數問題，從而將問題直觀、簡潔求解.

四、明確函數的變化關系

圖7

評析：準確把握函數圖像的變化關系，通過建立坐標系，準確作圖，利用數形結合思想，有效回避了分類討論，使問題直觀獲解.

“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”.華羅庚先生之所以如此推崇數形結合思想，是因為“形”可以使某些數字問題直觀化.在函數問題的處理中，將數與形進行緊密結合可找到簡潔的解題途徑.