思維 習慣 方法 創新
——例談小學生數學建模思想培養核心要素

黃蓮花

（廈門市梧村小學，福建 廈門 361000）

思維 習慣 方法 創新
——例談小學生數學建模思想培養核心要素

黃蓮花

（廈門市梧村小學，福建 廈門 361000）

小學生數學建模思想的培養需要一個長期的培養、積累的過程，在這一過程中需要學生思維的參與，良好學習習慣的養成，貫穿每一節課的有效方法，具備敢于質疑的創新意識和能力。

思維；習慣；方法；創新；小學數學；建模思想；培養

把現實世界中有待解決或未解決的問題，從數學的角度發現問題、提出問題、理解問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，并綜合運用所學的數學知識與技能求得解決的一種數學思想，就是我們所要培養的數學建模思想。思想是抽象的，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。但思想是可以培養的，借助知識載體，積累學習方法，通過體驗感悟，最終升華認識為思想。當然，思想的培養，不是一時半會就能見效的，建模思想的培養也是如此，需要經歷一個從量變到質變的長期的過程，經歷一個不斷積累經驗的過程。建立模型和運用模型解決問題的過程就是經驗積累的過程，這個過程需要學生思維的參與、良好學習習慣的養成、貫穿每一節課的有效方法，同時還必須有敢于質疑的創新意識和能力，這些是學生建模思想得以培養的核心要素。

一、以情感激活思維是前提

情緒心理學認為：個體的情感對認知活動具有動力功能。動力功能是指情感對認知活動的增力或減力的效能，即健康的、積極的情感對認知活動起積極的發動和促進作用，消極的、不健康的情緒對認知活動起阻礙和抑制作用。因此，教學時要發揮情感對認知活動的增力效能，減少或避免減力效能。

（一）創設輕松愉悅的學習情境

教師是課堂的組織者、參與者、引導者，教師的情緒對學生起著至關重要的作用。教師面帶微笑，情緒高漲，傳遞的是一種積極向上的感染力，容易促進學生積極的、健康的情感體驗，使學習活動成為學生主動進行的、快樂的事情，直接提高學生學習的積極性。反之，教師面無表情，情緒低落，有氣無力，學生可能會覺得壓抑，肯定會影響學習的積極性和主動性。實踐表明：歡快活潑的課堂氣氛是取得優良教學效果的重要條件，學生情感高漲和歡欣鼓舞之時往往是知識內化和深化之時。

（二）保持學生思維的活躍狀態

海曼在《如何培養建模思想更有效地滲透在應用取向的教學》中認為：要讓自己活躍起來，并積極主動地親身體驗建模過程。這樣就能保證，擁有不同智力能力的學生，有機會體驗各種變化。這里的活躍就是思維的活躍。教師不僅要用積極的情感拉近師生間距離，更重要的是讓學生在課堂學習中始終處于積極思維的狀態。

1.在新知生長點處激活。在創設問題情境中，從生活問題向數學問題轉化的過程，其實是一個舊知向新知轉化的過程。學生運用已有的生活經驗或知識基礎理解生活問題，但是轉化提煉為數學問題的過程需要學生將問題與所學知識進行溝通聯系的主動思維。使新舊知識在生長點處自然銜接，教師有效的問題引領是關鍵。

如教學《長、正方形周長的計算》一課，并非直接出示圖形提問如何計算周長，而是提供一些學生經常會碰到的現象，并提出問題。諸如“給長方形的相框鑲上漂亮的花邊，至少需要多長的彩帶？”“班級聯歡會，布置教室時將長方形的黑板圍上五顏六色的彩條，至少需要多長？”“教室里常用的長方形記錄框邊壞了，需要重新鑲框，至少需要鑲多長？”等生活中的實際問題，進而用問題啟發思考：“你知道這些問題都是在求什么嗎？”這一提問將生活問題直接指向“長方形或正方形的周長是多少？”這一數學問題。在解答“為什么是求長、正方形周長”的算理理解中進一步明確了周長的概念，又自然而然引入長、正方形周長如何計算的新知學習中。

2.在模型建立關鍵處激活。每一個數學模型都有其外在的表現形式，但是背后卻有內涵的東西。教師如果不能夠領悟其內涵及思想，教學時就可能停留在外在知識的獲取，而難以引領學生向縱橫方向深入思維，所學知識就難以納入已有或后續所學的知識網絡并形成體系，更無法靈活運用模型解決實際問題。因此，挖掘模型建立過程的關鍵環節，激發學生主動思維，往往效果甚佳。

以《長、正方形周長的計算》一課為例，很多教師在上述情境引入，揭示課題后，就從以下三個方面展開建模的教學過程。一是嘗試：出示一個長方形圖（標有長、寬的長度），要求學生獨立嘗試計算這個長方形的周長；二是說理：說說你這樣算的理由？并對其中的難點之處如長加寬的和乘2的算式進行直觀演示幫助學生理解算理，并引出方法的優化。三是抽象方法，建立模型：現在，你能說說長方形周長如何計算？邊引導邊出示：長方形的周長=長+寬+長+寬，或=長×2+寬×2，或=（長+寬）×2，然后比較一下你更喜歡哪個公式？為什么？回顧這三個過程不難發現，學生還是有思維參與的：在嘗試、說理的過程學生要思考問題與信息之間的關系，要檢索已有經驗和問題間的關聯，還要思考如何解釋道理，真正知其然而知其所以然；建模階段是對前面的回顧總結提煉，是一個由具體到抽象的過程，去除現象是本質的過程。

模型的建立一定是學生自主建構的過程，所謂自主建構，就是從一開始就要清楚要學習什么、弄清楚為什么、并在經歷體驗后感悟內化。從上面三個步驟的教學中，學生對長、正方形周長的計算公式是不難理解的，但是隱藏在其背后的內涵：“其周長與什么有關？”學生能否都能明白。教師一開始就要讓學生帶著問題思考，直至最后自己感悟并表達出來。比如，在嘗試計算前先問：“我們要計算長方形的周長，你覺得它的大小會與什么有關？”等學生猜測到與長、寬的長度有關時再給出它們的長度，這樣要求長方形的周長需要知道長、寬的長度，就不是教師直接給予而是學生根據猜測證實得到的，那么學生解決問題的主動性就更強了，思維自然更加活躍了。同時，在說理環節后加上“類推”一步：出示兩個圖形（一個長方形，一個正方形，分別給出長、寬的長度），分別求出這兩個圖形的周長。不僅積累更多的長方形計算方法的經驗，而且由此遷移內化對正方形周長計算方法的理解，更重要的是為后面回顧、抽象、提煉、表達自己所理解的數學模型提供體驗和感悟的豐富材料以及經驗。這樣學生不僅理解掌握長正方形周長的計算公式，更能內化周長概念的內涵，即長方形四條邊長度的累加，而累加過程的優化就得到了長方形周長的計算公式。學生明白了線段長度屬于一維空間，為后面學習面積與體積這樣二維與三維空間知識奠定了堅實的基礎。

3.運用模型拓展延伸激活。模型要在運用于實際問題的解決中得到鞏固深化，但是僅僅是簡單的套用公式，可能導致學生思維的定勢與思維的惰性，也會使模型之間的關系被割裂開，無法建構模型之間的聯系，使得不能靈活運用模型解決實際問題。因此，運用模型解決實際問題中，除了基本運用建構不同情境但同一本質的數學問題解決外，還要拓展延伸，將所學模型與不同模型間或同一模型但形式不同的實際問題對比，促使學生進一步思考，以考察學生靈活運用模型解決問題的能力。

如長方形周長計算一課，最后可設計的兩個問題：1.制作學校這個足球門的鐵條需要多長？2.把一個長5分米、寬3分米的長方形架子拆掉并圍成一個正方形，這個正方形架子的邊長是多少分米？最后在學生解答完后引導思考：回顧解決這些問題的過程，有什么想法、經驗和大家分享下？這樣學生在自己獨立思維的基礎上因有碰撞、接納，思維始終處于活躍狀態并得到有效提升。

二、讓嘗試成為習慣是目標

建立模型是解決問題和數學應用的核心。數學應用或解決現實中的實際問題很多時候不是也不可能生搬硬套模型就能解決的。而是需要對實際問題進行分析、提煉、檢索，建構和模型之間的聯系和區別，從而進行篩選重組，加工處理，甚至要多次變換不同角度思考問題直至最終解決問題。從這個角度上看，學生對模型的建立過程中經歷多少，投入怎樣，對模型的理解掌握程度等等，將直接影響其運用和問題的解決。因為，學生基本上是將新模型建立過程中所學到的知識、方法作為自己的思維習慣，并運用到問題解決中。習慣一旦養成，很難改變，因此，良好習慣的養成很重要。

接受式的思維方式可能導致學生生搬硬套，即使短期有效益，但絕對無法培養良好的學習力。要讓學生主動思考，勤于思考，大膽思考，碰到困難不退縮，有辦法，并使之成為習慣，自主嘗試是一個不錯的途徑。嘗試的開始就是學生啟動獨立思考，進行分析、比較、抽象、推理等思維之旅的過程，是建構與已有經驗間聯系并進行分析取舍的過程，也是學生對模型能夠真正內化為自己的理解并表達的前提，更是教師根據學情及時調整教學進程、提供良好學習方式的有效載體。自主嘗試成為一種習慣后，學生的思維方式就轉變為：凡事自己先想，敢于挑戰，尋找解答過程不容易受剛學過的數學技巧的限定，能夠調整思維的角度，想盡各種方法，最終使問題得以解決。有利于培養學生運用的意識，以及創新意識的形成，更有助于學生積累建模的經驗，形成建模的思想。

如教學雞兔同籠一課時，許多教師在出示例題后就引導學生找出顯現的和隱藏的信息，課堂就成了教師的一言堂了，學生沒有思維參與的空間，教師也無視學生的想法，導致模型建立后教師還得不停引導，這樣的教學無法培養學生從數學的角度發現問題、提出問題、理解問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，并綜合運用所學的數學知識與技能求得解決的能力，更談不上培養數學的思想了。教學其實是可以這樣進行的：讓學生理解信息后，直接問：你想怎么解決這個問題？學生思考后直接動手嘗試解決，學生各自運用的方法是不同的，有的嘗試。列舉法（就算是列舉法的也還有所區別），有的用假設法，有的則嘗試用方程，還有的嘗試畫圖。當然，也會有一部分學生想不出思路。只有充分地放手，才能真正地發現和調整，發現學生已有知識基礎或經驗被激活的情況如何，學生自己獨立解答問題的能力如何，學生思維活躍或層次反映情況如何，這時教師才能真正把時間放在重點處、難點處，關注學生對各種解法的理解，因此，教師對展示各種解法的過程中，可以在學生易錯易混淆的地方放慢腳步，多一些“這一步什么意思？你看得懂嗎？還有什么疑問沒？”等問題引領，然后適時地運用直觀手段幫助理解，使學生能夠感受到對算理理解的必要性。同時，通過對多種方法的比較，使學生領悟并選擇適合自己思維層次的算法解決問題。此時，學生的參與就不僅是聽，更多的是思和悟了：“呵呵，我做對了”“哦，我剛才怎么沒有想到這種方法？”“嗯，這個方法好像更好”。做足體驗和感悟是升華思想的必要途徑。

問題解決不是一成不變，而是靈活多變的，需要學生具備獨立解決問題的能力和善于思考的習慣。碰到一個新的問題，不是期待得到幫助，而是先主動嘗試解題，分析問題與信息之間的關系，與原有的認知基礎或經驗進行關聯，尋找解決問題的突破口。只有在學生真正經歷思考后還無法解決時伸出援手的幫助，才能使學生真正從情感上接受，并付出精力去獲取，這樣，獲得的知識才會牢固，體驗才會深刻，能力才能得到培養，思想才能升華。

三、把反思當作方法是策略

從元認知角度來考慮，學習并不僅僅是對所學材料的識別、加工和理解的認知過程，它同時也是對認知過程進行積極的監控和調節的元認知過程。元認知過程實際上就是指導、調節認知過程，選擇有效認知策略的控制執行過程。其實質是人對認知活動的自我意識和自我控制。元認知的過程恰恰是學生將模型內化并積累經驗的一個不可缺少的環節。及時反思可以指導學生有效監控學習過程，借助反思促進思考，讓反思成為進一步學習的有效策略。反思不僅應該從知識的獲得入手，更重要的是在方法策略、意識和觀念層面上的自我監控。通常，在每一環節結束進入下一環節時，要引導反思，達到承上啟下的作用。在建模過程中，更需要對方法、策略運用及失敗和喜好原因等進行反思，勾連新舊知識間的聯系，及時調整、修正策略，使模型認識更深刻，使學習方法更有效，從中感受數學思想方法的魅力和作用，并能在潛移默化中靈活運用解決問題。

以三角形的面積計算為例，本課教學一開始通過創設情境抽象“這個直角三角形的面積如何計算？”這一數學問題后，學生嘗試解決，并解釋算理：將直角三角形轉化為長方形，發現他們面積之間存在2倍的關系，經過推導得到了直角三角形面積等于底乘高除以2這一結論后。許多教師直接提問：那么銳角三角形、鈍角三角形的面積又該如何計算呢？能不能也運用轉化的方法試試看？就引入了下一環節的探索。其實，建模過程所運用的策略為接下來的繼續探究以及今后碰到的實際問題的解決將起至關重要的作用，應該讓每個學生都清楚和明白，而自我反思恰恰是必不可少的環節。可通過問題激發學生思考：你們想過為什么要把直角三角形轉化為長方形？轉化為其他圖形可以嗎？你們又是怎么轉化的？通過反思，能夠明白未知轉化為已知是問題得以解決的常用的、有效的策略；通過反思，真正尋找到“兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個長方形”是新知識與舊知識之間的聯結點。通過反思，明白直角三角形不但可以拼成長方形，還可以拼成平行四邊形，轉化為長方形時不僅可以用拼的方法，還可以直接把這個直角三角形進行剪拼（如上圖所示）。更重要的是為后面的銳角三角形和鈍角三角形轉化成平行四邊形的探索掃清障礙，為順利達成教學目標打下堅實的基礎。

盡管教學不一定要把所有的方法都讓學生掌握，但是，通過反思還能夠想到教學以外的更多的方法，恰恰說明學生思維的廣度和深度被充分挖掘。如果，長期堅持養成自我反思的習慣，讓學生自主把未知問題歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去時，將不會受到所學知識和方法的限制，能夠更加靈活地選擇有效的方法，使問題最終得以解決。

四、將質疑進行到底是精神

學習的過程是自主建構對新知識的理解和體驗、感悟的過程。學生帶著自己的認知基礎或生活經驗的主動參與，但是基礎不同，經驗不同，每個人的理解和能力也各不相同，因此，大班教學要確保學生對所學知識達到知其然而知其所以然的目標，就要在課堂學習中形成一種人人敢于問“為什么”的質疑精神，敢于說出“我認為這樣的方法更好”的自信。

暑假聽了劉松教學的《倍的認識》，他在借助三朵黃花和三朵紅花比較，通過引導學生說出黃花和紅花同樣多的基礎上，直接告知在數學上除了可以說成同樣多外，還可以有另一種關系。這樣引導出紅花是黃花的一倍，進而一倍多1個，多2個，一倍多3個也是2倍，再到3倍之后，就話鋒一轉：“剛才要你們說的，都說得真好。現在你們自己還有什么想說的嗎？”此時很多學生不知如何表達。最后還是劉松老師引導，“你們說是1倍，說是2倍，可為什么是1倍、2倍呢？也就是說你們知道這個結果，可為什么是這樣的？你們明白嗎？有這樣問過自己嗎？”這是非常重要的問題，學習不但要知道是什么，更要知道是為什么。

整堂課下來，印象最深的就是教師一直在鼓勵學生要敢于問為什么，凡事要弄清楚為什么，教師說這就是他的教學理念。教師直接問為什么？學生只是在回答一個問題而已。但是如果問學生有什么問題要問嗎，或者有什么想法要表達嗎，這就要求學生自己思考要提什么問題，提什么才是有價值的問題，每每作出這樣的思考時，學生質疑習慣才能養成，獨立思考的能力才會增強。這就是我們所需要培養的發現問題并提出問題的能力。而營造這樣有著“質疑習慣”的肥沃土壤，需要靠教師持之以恒，堅持不懈的培育和澆灌。

教師力求培養學生在解決實際問題時，能夠用數學的眼光發現問題，運用數學模型靈活解決問題，碰到困難不退縮，不放棄。但在平常的教學中，學生沒有獲得足夠的信心、養成良好的習慣、掌握必要的技能，以及缺乏應變的思維能力的支撐，是難以達成這一目標的。因此，持之以恒、堅持不懈地把建模思想所必備的核心要素貫穿于每一堂課始終，就成了教師必須共同努力的方向。

［1］張海燕.數學建模思想在小學數學教學中的應用[J].現代教育,2015(10).

［2］鄭毓信.數學教師基本功之二［J］.人民教育，2008（9）.

（責任編輯：陳志華）