數學分析模型在醫療機構營銷中的應用

白燁　舒琨　姜華

[摘 要]數學模型在市場分析的應用是市場研究的熱點之一。文章對市場營銷常用的馬爾可夫模型、灰色關聯度模型、Logistic回歸模型概念進行了介紹，探討了各模型在醫療機構中的應用及適用范圍。通過對各個模型優劣的分析，為醫療機構的決策者了解自己在競爭中的位置、患者需求以及醫療服務等方面存在的問題提供方法，使醫療機構采取相應的措施、提高患者滿意度及醫療競爭力提供決策參考。推動醫療市場健康穩定發展。

[關鍵詞]數學分析模型；醫療機構；市場營銷

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.104

在市場營銷研究中，對所研究的對象進行量化，建立適當的量化數學模型分析市場的發展特點及市場消費行為，已經成為科學營銷的發展趨勢。相對于定性方法，構建數學模型的定量方法在于對市場營銷問題具有嚴謹的解釋能力和縝密的判斷能力，對于政策制定者、市場調查及營銷人員，數學建模方法是十分有效的分析工具。因此，將數學模型引入醫療機構經營的預測、掌握醫療機構的發展特點以及消費者的需求和行為規律，進而指導醫療機構的長遠規劃發展是非常必要的。文章根據醫療機構市場需求的特點，在借鑒國內研究成果的基礎上，選取馬爾可夫鏈、灰色關聯度和Logistic回歸3個模型，對其基本原理和在醫療市場應用范圍進行總結，以期對醫療機構的發展有所幫助。

1 馬爾可夫模型在醫療市場預測的應用

馬爾可夫模型是安德烈·馬爾可夫（A.A.Markov）在1907年提出的，也稱馬爾可夫鏈。它的特點是：在給定當前知識或信息的情況下，則未來的狀態可以通過預測來確定，而與過去的狀態無關。[1]在馬爾可夫鏈中，系統根據概率分布，可以從一個狀態變到另一個狀態，也可以保持當前狀態。馬爾可夫鏈X1、 X2、 X3、 …描述了一種狀態序列，其每個狀態值取決于前面有限個狀態。馬爾可夫鏈是具有馬爾可夫性質的隨機變量的一個數列。這些變量的范圍，即它們所有可能取值的集合，被稱為“狀態空間”，而Xn的值則是在時間n的狀態。如果Xn+1對于過去狀態的條件概率分布僅是Xn的一個函數。[2，3]即P（Xn+1=xX1=x1， X2=x2， …， Xn=xn）=P（Xn+1=xXn=xn）

這里x為過程中的某個狀態。上面這個恒等式可以被看作馬爾可夫性質。

馬爾可夫過程的定義如下：

定義一：設{X（t）， t∈T}是一個隨機過程，如果{X（t）， t∈T}在t0時刻所處的狀態為已知時，t0以后的狀態與它在時刻t0之前所處的狀態無關，則稱具有馬爾可夫性，即{X（t）， t∈T}。

定義二：設{X（t）， t∈T}的狀態空間為S，如果對于任意的n≥2，任意的t1

則稱{X（t）， t∈T}為馬爾可夫過程。

馬爾可夫鏈的轉移變化分析，在于分析鏈內有限次馬爾可夫過程的狀態及相互關系，進而預測系統或過程的未來狀況。該鏈早期多用于自然科學研究的建模，近年來，由于市場參與主體的多元化、多變性、期望利潤及產品市場占有率的變化過程都具有隨機性和無后效性，與馬爾可夫鏈應用的要求相符。因此，馬爾可夫鏈逐漸應用于宏觀經濟形勢、市場占有率及期望利潤的預測。[4，5]

在醫療機構的生產及運營過程中，經營者需要密切關注醫療市場需求者的轉移變化情況和競爭對手的發展趨勢，對未來的市場占有率及市場動態有盡可能準確的預測，但醫療市場占有率的變化是一個隨機過程，而且這種變化只與現在醫療機構的服務狀態有關而與過去無關，因此，具有隨機性和無后效性兩個特征，即具有馬爾可夫性。[6]根據上述馬爾可夫鏈的定義與性質，預測醫療機構市場占有率情況，進一步利用以下轉移概率矩陣分析并找到提高醫療機構市場占有率的有效方法。[7]轉移概率矩陣包括一步轉移概率矩陣和n步轉移概率矩陣，兩矩陣基本原理如下：

一步轉移概率指系統從狀態i經過1次發展演變后轉移到狀態j的概率，記為Pij；該概率是固定不變的，它與系統發生轉移的時間無關，只要系統一次性地由狀態i轉移到狀態j，那么這個隨機過程的概率就為Pij。全部狀態的一步轉移概率構成一步轉移概率矩陣：

n步轉移概率是指系統從狀態i經過n次發展演變后轉移到狀態j的概率，記為P（n）ij。全部狀態的n步轉移概率構成 n步轉移概率矩陣：

由切普曼·柯爾莫果洛夫方程：P（n+m）ij=

（P為進一步轉移概率矩陣），該公式表明n步轉移概率矩陣等于一步轉移概率矩陣的n次冪。由此可知，若已知一步轉移概率矩陣，便可求得n步轉移概率矩陣，進而便可預測出隨機過程的未來發展演變情況。

總之，使用馬爾可夫模型對于醫療機構的市場占有率預測步驟可概括為：①確定某一期醫療機構狀態及醫療機構狀態的初始概率分布；②確定離散參數的計量單位并編制醫療健康機構顧客轉移概率表；③計算該期醫療機構的轉移概率矩陣；④根據S（k）=S（k-1）P（k表示預測期數），預測下一期醫療機構市場占有率；通過上述馬爾可夫模型，可建立兩個相鄰時刻醫療健康機構市場占有率的概率轉移之間的聯系來研究其變化規律。此外，該模型還可得出消費者目前選擇的醫療機構及其服務和對于其未來選擇其他醫療機構轉移概率，以此通過轉移概率矩陣預測，在未來不同的時段，不同醫療機構的占有份額，為經營者確定預期的運營策略。[8]

2 灰色關聯度模型在醫療市場分析的應用

1982年由中國學者鄧聚龍教授創立的灰色系統理論是以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”“貧信息”不確定性系統為研究對象，通過對“部分”已知信息的生成、開發，提取有價值的信息，實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控的方法。灰色關聯分析是灰色系統理論的重要組成部分之一[9]，其基本思想是通過確定參考數據列和若干個比較數據列的幾何形狀相似程度來判斷其聯系是否緊密，將評價指標原始觀測數進行無量綱化處理，計算關聯系數、關聯度，根據關聯度的大小對指標進行排序。運用此方法可以分析各個因素對于結果的影響程度，也可以運用此方法解決隨時間變化的綜合評價類問題。

灰色關聯分析的基本計算過程如下：

（1）確定反映系統行為特征的參考數列和影響系統行為的比較數列。

設參考數列（母序列）為Y={Y（k）k=1， 2， …， n}；比較數列（子序列）為Xi={Xi（k）k=1， 2， Λ， n}， i=1， 2， Λ， m；

（2）無量綱化處理：

（3）計算x0（k）與xi（k）的關聯系數：

（4）求其平均值，作為比較數列與參考數列間關聯程度的數量表示，關聯度ri公式為：

（5）關聯度按大小排序，如果r1

灰色關聯分析在醫療機構的應用主要側重于因素分析和優勢分析。[11]因素分析，即為醫療健康市場系統包含有多種因素，多種因素共同作用的結果決定了該系統的發展態勢。要進行醫療健康市場系統分析，需判斷影響系統發展的主要因素，該方法可用于分析醫療健康市場需求影響因素與顧客滿意度影響因素，有利于了解市場內顧客的消費動態變化；優勢分析，即為參考序列和比較序列的數量均大于1的關聯分析。此時所有的醫療健康市場系統特征行為序列和相關因素行為序列之間的關聯度可以構造出一個灰色關聯矩陣，如果某一行的各個元素均大于其他各行的對應元素，則該行的系統特征行為序列稱為最優特征。如果某列的各個元素均大于其他各列的對應元素則該列的因素序列稱為最優因素[12]，該方法可用于分析醫療健康機構盈利能力及醫療健康機構生產過程的優化。

3 logistic回歸模型在醫療市場分析的應用

logistic回歸屬于概率型非線性回歸，最為常用的是二分類logistic回歸，是研究觀察結果與影響因素之間關系的一種多變量分析方法。[13]按研究方法劃分又可分為條件logistic回歸和非條件logistic回歸，前者針對配對或配伍研究，后者針對成組研究。應用logistic回歸需滿足以下條件：獨立性，即各觀測對象間是相互獨立的；logitP與自變量是線性關系。

樣本量，即經驗值是樣本對照各50例以上或為自變量的5～10倍，當樣本量較小或不能進行似然估計的情況下可采用精確logistic回歸分析，此時要求分析變量不能太多，且變量分類不能太多； 當隊列資料進行logistic回歸分析時，觀察時間應該相同，否則需考慮觀察時間的影響。logistic回歸模型的一般形式為：設有一個二值應變量Y，取值如下：Y=1，出現陽性結果（有效、發生等）0，出現陰性結果（無效、未發生等）

另有m個影響Y取值的自變量X1， X2， …， Xm，記在這m個自變量做一些陽性結果發生的概率為P=P（Y=1X1， X2， X3， …， Xm），則 logistic回歸模型可表示為：

在醫療健康市場的發展過程中，通常會遇到大量參與經營與競爭的市場主體的觀測因變量是二分類測量（即y=1或y=0），也就是說市場主體的行為可應用logistic回歸模型進行分析。此外，醫療機構是我國經濟的重要組成部分，需要對其影響市場發展趨勢及規模的因素做出科學預測。通過引入該回歸模型進行分析，研究患者對醫療機構服務的需求影響因素，將對醫療市場各主體的行為選擇產生重要的影響，有助于改進各經營主體的服務，實現多贏。因此，在醫療市場的分析過程中，采用logistic回歸模型具有以下方面的作用：①尋找影響因素，如患者對醫療服務的認知與選擇其服務的影響因素、各影響因素變量與服務項目接受度之間的關系及其影響程度等；②預測，如果已經建立了logistic回歸模型，則可以根據模型預測在不同的自變量情況下，醫療市場中發生某種情況的概率；③判別，根據logistic回歸模型，判斷醫療市場中發生某種情況的概率有多大的可能性。

4 馬爾可夫模型、灰色關聯度模型和logistic回歸模型應用的側重點

馬爾可夫模型、灰色關聯度模型和logistic回歸模型在醫療市場運營發展中的應用有著各自的側重點。馬爾可夫模型的預測不需要連續的歷史數據，通過近期的資料就可以預測未來，因此多用于醫療市場各經營主體對未來市場占有率發展趨勢的短期預測。[15]然而，馬爾可夫模型的應用必須滿足馬爾可夫性與轉移概率的穩定性，即基于轉移概率穩定性假定的要求，市場占有率的轉移概率矩陣是相對穩定的。事實上，在預測過程中發現，市場占有率的轉移概率矩陣很難保持穩定不變，所以馬爾可夫模型僅可以預測各經營主體未來市場占有率處于某一水平的概率，并非表示未來市場占有率必然穩定于該水平。因此，在選擇市場時，通常選擇相對穩定的時期，應避免淡旺季等特殊時期，預測市場占有率。[16]灰色關聯度模型則側重應用于醫療市場中顧客滿意度評價分析及消費者需求的預測，能夠較為方便地對影響醫療機構的多項因素做出分析和評價。灰色關聯分析方法操作簡便，所需數據較少，結論清晰，要求樣本容量可以少到4個，適用于分析無規律數據，避免了量化結果與定性分析結果不符的情況。[17]另外，灰色關聯度模型需要對各項指標的最優值進行現行確定，主觀性較強，部分指標最優值難以確定。logistic模型在醫療市場研究中多用于研究市場中消費者對醫療機構有形無形服務的消費動機、偏好與需求行為影響因素方面，應變量y為二分類或多分類變量，自變量既可以為分類變量，也可以為連續變量。該模型的優點在于可在樣本內外的數據進行預測，還可對預測的結果進行比較和檢驗。然而logistic回歸模型理論上要求有大樣本，否則將會導致計算值低于真實值。[18]現代醫療市場的研究方式是綜合的，要實現對市場運營的準確預測與分析則應根據市場中的實際狀況，根據模型的優勢與適用范圍進行應用數學模型。

5 結束語

數學模型在醫療市場的應用是一項極具發展前景的市場研究方法，能夠對市場發展規律進行量化分析與預測，科學地掌握消費者的需求和消費習慣，促進市場內各經營主體有序管理與運營，實現醫療市場的可持續健康發展。

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