一個“以逐級設問為導向”的教學嘗試案例
——函數單調性的概念

☉云南省曲靖市第一中學 陳 潤

一個“以逐級設問為導向”的教學嘗試案例
——函數單調性的概念

☉云南省曲靖市第一中學 陳 潤

一、教材分析

函數的單調性是高考的重點考查內容之一，是函數的一個重要性質，在比較幾個數的大小、求函數值域、對函數的定性分析，以及與其他知識的綜合上都有廣泛的應用.通過對這一節課的學習，可以讓學生加深對函數的本質認識.也為今后研究具體函數的性質做了充分準備，起到承上啟下的作用.

教學重點：形成增（減）函數的形式化定義.

教學難點：形成增（減）函數概念的過程中，如何從圖像升降的直觀認識過渡到函數的增減性用數學符號語言表述；用定義證明函數的單調性.

二、教法

啟發式教學，在教師的引導下，通過開放性問題的設置來啟發學生，讓學生在思考中體會數學概念形成過程中所蘊含的數學方法.

三、學法

采用著重于學生探索的方法，結合師生共同討論、歸納.根據學生的認知水平，設計了五種方法：①創設情境——引入概念；②觀察歸納——形成概念；③應用舉例——深化概念；④即時訓練——鞏固新知；⑤總結反思——提高認識.

四、教學程序及設想

（一）創設情境——引入概念

由具體的實例引入：

問題1：觀察下列各個函數的圖像（圖1，圖2），說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律.

圖1

圖2

答：隨x的增大，y的值有變化.

設問意圖：給出學生這兩個引例是從圖像上激發學生對探索研究、學習新知識的熱情，為導入新課及順利完成教學任務做了思想上的準備.

問題2：畫出一次函數f（x）=x和二次函數f（x）=x2的圖像，從圖像觀察隨x的增大，y的值有什么變化.以二次函數f（x）=x2為例，列出x，y對應值表，進行相應的分析.

答：在x∈（-∞，0）上，隨著x的增大，y減小；在x∈（0，+∞）上，隨著x的增大，y增大.

設問意圖：為得出增函數與減函數的概念從圖形和數值上做好了鋪墊.

（二）觀察歸納——形成概念

把圖形語言轉變成數學語言，借助點這個中間橋梁.（作為這一節的重點內容講解）

問題1：構成圖像的要數是什么？

答：點（x，y）是構成圖像的基本要素.

設問意圖：引入數與形結合的橋梁點（x，y）這個工具，為接下來的問題做好鋪墊.

問題2：（1）圖像的變化與點（x，y）的運動有關系嗎？

答：有.

（2）看圖像的實質是看什么？

答：看點（x，y）的變化.

設問意圖：引導學生把構成圖像的基本要素點（x，y）單列出來研究，這就為接下來的研究找準了方向.

問題3：能用定點（1，2）來刻畫圖像的運動變化嗎？

答：不能，因為1，2是常數，定點（1，2）不能刻畫圖像的運動變化.

設問意圖：引導學生用動點（x，y）來分析和刻畫圖像的運動變化.

問題4：（1）一個動點（x，y）能夠刻畫圖像的變化嗎？

答：不能.

（2）用三個動點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）能夠刻畫圖像變化嗎？

答：可以，但三個動點的刻畫相對較為復雜.

（3）那最好用幾個動點來刻畫圖像的運動變化？

答：兩個動點（x1，y1），（x2，y2）.

設問意圖：引導學生用動點來刻畫圖像，一個動點沒有比較，突出不了變化的特性.三個動點可以刻畫，但相互間的變化較為復雜.最好用兩個動點，這樣既可以刻畫變化，也可以形成比較.

問題5：（1）點（x，y）由哪些要素組成？

答：橫坐標x，縱坐標y.

（2）橫坐標x、縱坐標y都是數，那么能用數來刻畫圖像的變化嗎？

答：能.

設問意圖：引導學生從形的特性向數的方向轉移.

問題6：（1）點（x，y）的坐標體現的是幾維的思想？

答：二維，一維由x確定，另一維由y確定.

（2）能把二維降為一維來研究嗎？

答：能.

設問意圖：引導學生用消元降維的思想研究問題.

問題7：（1）點運動時，橫坐標x1，x2，縱坐標f（x1），f（x2）都是變數，對用數來刻畫圖像的變化會帶來困難.那你會想到哪些更好的方法？

答：固定兩個動點的橫坐標x1，x2，縱坐標f（x1），f（x2）中某一類量之間的大小，去研究另一類坐標間的大小關系.

（2）那固定哪個坐標？

答：習慣研究橫坐標x1，x2，那就固定橫坐標x1＜x2.

設問意圖：引導學生從已有的認知出發，讓學生體會從研究四個量x1，x2，f（x1），f（x2），到只需研究兩個量f（x1），f（x2），從研究橫縱坐標兩類量到只需研究縱坐標一類量的變化.

問題8：x1，x2是變化的，如何取x1，x2？

答：任取x1，x2∈D（D為定義域的子集）.

設問意圖：讓學生體會所取的x1，x2的變化應該用“任取”這兩個字來刻畫.

問題9：任取x1，x2∈D，且規定了x1，x2后，怎樣研究f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）呢？

答：采用f（x1）-f（x2）＜0或f（x1）-f（x2）＞0的方法.

設問意圖：讓學生體會定義中的兩個簡單不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻畫了函數遞增或遞減的性質.這就是數學魅力！

問題10：怎樣完整地把以上想法用數學語言表達出來？

答：設函數y=f（x）定義域的子集為D，若對任意的x1，x2∈D，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），則f（x）為區間D上的增（減）函數.

設問意圖：通過上述的問題，讓學生體會怎樣從已有的認知中提煉出增（減）函數的形式化定義.

問題11：定義中的關鍵詞語是哪些？

答：通過學生的分析討論得出以下幾個關鍵詞語：

（1）“定義域內某個區間”.這里包含兩層意思：第一，函數的單調性只能在定義域內討論；第二，函數的單調性是對定義域內的某個區間而言的，否則無法討論其單調性.

（2）“任意兩個”和“都有”.就是說這里的x1，x2在給定區間上具有任意性，不能用特殊值來判斷函數的單調性（要特別強調），而且只要x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））恒成立.

設問意圖：讓學生正確地、深入地理解概念的關鍵.這教師應該啟發引導學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題、認識問題的能力.

問題12：你對數學化的過程還有那些需要補充和改正？

答：如果我們已知f（x）在某個區間上是增函數或減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判斷函數值的大小，也可以有函數值的大小去判斷自變量的大小，即一般成立則特殊成立，反之不然.

設問意圖：讓學生體會辨證法中一般和特殊的關系.

（三）應用舉例——深化概念

例1人教A版必修1課本P29頁例1.

意圖：（1）會根據圖像寫單調區間；（2）明確區間的端點值不影響函數在這一區間上的單調性.

例2人教A版必修1課本P29例2.

問：怎樣用定義來證明呢？

要求：學生思索并動筆，教師不斷點撥啟發，最后師生共同完成（教師認真規范地板書證明過程，以對學生起到示范作用）.

意圖：通過此題解題達到以下要求：

（1）總結歸納出用定義證明函數單調性的步驟.

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f（x1）-f（x2）；③變形（通常是因式分解和配方）；④定號（即判斷差f（x1）-f（x2）的正負）；⑤下結論（即指出函數f（x）在給定的區間D上的單調性）.（2）變式訓練：討論函數y=k為常數，且k≠0）.

意圖：通過變式訓練使學生認識到反比例函數的單調性決定于系數k，同時訓練了學生進行分類討論的重要數學思想.

（四）即時訓練——鞏固新知

（1）人教A版必修1課本P32練習第1、2、3、4題.

意圖：為了使學生達到對知識的深化理解，從而達到鞏固提高的效果，設計了一組即時訓練題，并且把課本的例題融入即時訓練題中，通過學生的觀察嘗試，討論研究，教師引導來鞏固新知識.

（五）總結反思——提高認識

由學生總結本節課所學習的主要內容：

函數的單調性一般是先根據圖像判斷，再利用定義證明.求函數的單調區間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結論.

意圖：讓學生通過知識性內容的小結，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質.

反思：設問要注意問題的關聯性，問題要緊扣知識的本質規律設置，同時要兼顧學生的認知規律.問題間最好有層次與遞進關系，解答問題的同時應該起到知識積累的作用.

這種圖像用動點研究的思維有沒有生命力呢？

舉例：解關于x的不等式ax+b≥0.

畫出y=ax+b的圖像.

提問：①圖像變化與點運動有關系嗎？看圖像的實質是看什么？（看點）

②點由哪些要素組成？（橫坐標、縱坐標）

③橫、縱坐標都是數，那么能用數來刻畫圖像的變化嗎？（能）

④點的坐標體現的是幾維的思想？（二維）

⑤能把二維降為一維來研究嗎？（能）

⑥解關于x的不等式，看圖像時是看什么坐標？（不等式大于或小于0，實質是先看y的大小，然后把圖像上滿足y的變化的點往x軸方向做正投影，即可得到滿足不等式的x的值，從而可解出不等式）

上面解不等式的思路可推廣到更一般的（不等式對應函數的圖像可畫出）不等式.

以上，筆者僅從教材，學情，教法，學法，教學程序上以問題為導向，說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”.

1.中華人民共和國教育部.國家基礎教育課程改革綱要（試行）［N］.中國教育報，2001（7）.