一道高考題的解法賞析及拓展延伸

☉山東省鄒平縣黃山中學 陳秀群

一道高考題的解法賞析及拓展延伸

☉山東省鄒平縣黃山中學 陳秀群

一年一度的高考剛剛落下帷幕，賞析高考題成為了筆者多年的習慣，尤其欣賞那些可以從多個視角進行問題解決的考題，這樣的考題不是“孤題”，可以讓懂原理、會方法的學生將自己的能力展示出來，更可以作為典型性例題拿到數學課堂學習（尤其是高三數學復習）中來，通過一道題可以有效復習到多個知識和方法，甚至還可以以此為母題向外拓展延伸，本文以2017年的一道高考題為例進行簡單的分析與探討.

一、考題呈現

考題 （2017年全國新課標Ⅰ卷理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16B.14C.12D.10

二、多維度探尋考題解法

筆者運用高中數學知識、方法對該題進行分析，發現該題的解法至少有如下幾種：

解法1：（設直線解決）由題意得焦點為F（1，0），l1，l2與坐標軸不平行，設l1：y=k（x-1）（k≠0），A（x1，y）1，B（x2，y2），將y=k（x-1）代入y2=4x得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，故x1+.由弦AB是焦點弦且p=2，故|AB|=x1+x2+p=4.由l⊥l，則l的斜率為代替k得|DE|=4k2+4，122所以|AB|+|DE|=4k2++8≥16，當且僅當k=±1時，取得最小值16.

這種解法是常規方法，也是通法，運用的基本原則是已知直線過定點，那就設出斜率解決.

解法2：（設出傾斜角）由題意得焦點為F（1，0），l1，l2與坐標軸不平行，不妨設直線l的傾斜角為α（ 0＜α＜），設

1|FA|=r1，|FB|=r2，則點A的坐標為A（r1cosα+1，r1sinα）.由點A在拋物線C上，得sin2α=4（rcosα+1），即（sin2α-（4cosα）r-114=0，由求根公式得r=（其中r=＜0舍去）.11由點B對應的角為π+α，用π+α代替α得r=2，故|AB|=r+r=，同理得|DE|=12.所以|AB|+|DE|=≥16，當且僅當α=時，取得最小值16.

這種解法用的是三角函數定義及點在曲線上的思想，求解焦半徑的長，同時用拋物線的定義、性質解決.

解法3：（利用參數方程）由題意得焦點為F（1，0），l1，l2與坐標軸不平行，不妨設直線l1的傾斜角為α （ 0＜α＜），則l的參數方程為1交點A，B對應的參數為t，t，將，代入y2=4x，得12（sin2α）t2-（4cosα）t-4=0，故t1+t2=，故.由l1⊥l2，得l2的傾斜角為+α，用+α代替α得|DE|=，所以|AB|+|DE|==≥16，當且僅當α=時，取得最小值16.

這種解法用的是直線參數方程，也是求弦長問題的有效方法.

圖1

解法4：（利用拋物線的定義）由題意知焦點為F（1，0），準線方程為x=-1，不妨設直線l的傾斜角為α （ 0＜α＜），1如圖1，作AA′垂直于準線，垂足為A′，則|AF|=|AA′|=|AF|cosα+|KF|=|AF|cosα+2，故|AF|=，同理|BF|=，所以|AB|==.由l⊥1l，得l的傾斜角為+α，用+α代替α得|DE|=22，所以|AB|+|DE|===16，當且僅當α=時，取得最小值16.

這種解法是利用拋物線的定義，體現了解析幾何的幾何屬性，運用幾何性質解題.

解法5：（利用極坐標）由題意得p=2，則以焦點為極點，開口向右的拋物線的極坐標方程為，設點A的極角為α，則點B的極角為π+α，故，ρ=B，所以|AB|=，同理|DE|=，以下同解法2或解法3.

這種解法用的是極坐標方程，避免了直線與拋物線方程的聯立，大大減少了計算量.

解法6：（利用極坐標和基本不等式解決）前面解法求得弦長|AB|，|DE|后，可以發現，則|AB|+）（|AB|+|DE|）=4（ 1+1）≥）=16，當且僅當|AB|=|DE|=8時，取得最小值16.

這種解法體現了極坐標與基本不等式的綜合應用，起點高，落點低.

三、基于考題的拓展性研究

結論1：過拋物線E：y2=2px的焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點，直線l2與E交于C，D兩點，則

我們知道，拋物線、橢圓、雙曲線都是圓錐曲線，其性質都可以類比得到，上述結論也可以推導到圓錐曲線中.

推論1：過橢圓E：=1（a＞b＞0）的一個焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點，直線l2與E交于C，D兩點，則

推論2：過雙曲線E：=1的一個焦點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于A，B兩點，直線l2與E交于C，D兩點，不妨設直線l1的斜率為k，當（b2-a2k2）（b2k2-a2）＞0時，則；當（b2-a2k2）（b2k2-a2）＜0時，則 （.限于篇幅，此處兩個推論的證明過程略）

四、對數學學習的幾點啟示

1.練好基礎，提升能力

沒有堅實的基礎知識，能力也只是空中樓閣.因此我們要注重扎實基礎，練就“硬功夫”.若對基礎知識理解不到位、掌握不牢固、運用不靈活，就無法果斷選擇解題方向，無法順利推進解題思路，更難以靈光閃現生成數學直覺、產生解題頓悟.本題的六種解法，綜合了所學的基本知識，處處體現了學生的基本能力.所以，扎實的基礎是攻克難題、萌生靈感的前提，是養成程序化思考問題的習慣的關鍵，也是戰勝高考的后盾.在高三的復習教學中，要指導學生練好基礎.

2.培養核心素養，發展數學品格

章建躍博士指出：“理解數學、理解學生、理解教學是落實數學核心素養的關鍵.”復習教學中，不宜篤信題海戰術從量上追求“練過”，而應著眼于發展核心素養從質上追求“練透”.若邏輯推理、數學運算等核心素養沒跟上，即使年年歲歲考題相似，還是歲歲年年熟而不會.高考對圓錐曲線的考查重點比較綜合，試題構成元素主要是圓錐曲線和直線，但是元素的復合形式、設問角度及參數調控多種多樣，掌握以不變應萬變的的良方，唯有發展良好的數學核心素養，即應具備適應終身發展和社會發展需要的必備數學品格和數學關鍵能力.在圓錐曲線問題的解決中，必備的“關鍵能力”主要是邏輯推理與數學運算素養.例如，本題的幾種解法中，要幫助學生理清思路、開闊思維；讓學生領悟解題路徑及思路要領，形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，熟練掌握運算法則、清晰選擇運算方法.

1.張艷玉.是“亮點”，還是“敗筆”——由一道“一題多解”數學題教學引發的思考［J］.數學教學通訊，2011（15）.

2.陳曉明.關注新問題的生成，反思試卷講評課的有效性——以一道直線方程試題為例［J］.上海中學數學，2015（11）.

3.趙煒.“教”讓道于“悟”——一道調研測試題的講評教學實錄及反思［J］.中學數學月刊，2013（9）.