極限運算解題技巧解析

李慧敏+紀素娟

摘要：《高等數學》的主要內容是函數的微積分，極限思想恰是研究函數微積分的重要方法。對學生而言，學好極限、掌握極限運算的類型和技巧對其學好微積分至關重要。本文就極限運算常見的集中類型進行匯總、分析，在此基礎上提出解題技巧，幫助學生提高做題速度和準確率。

關鍵詞：極限；運算；分類；解析

很多實際問題的精確解，僅通過有限次的算術運算是求不出來的，必須通過分析一個無限變化過程的變化趨勢才能求得，由此產生了極限概念和極限方法。極限理論是《高等數學》的基礎，也是這門課程的基本推理工具，是研究函數微積分的重要方法，將貫穿高等數學的始終。學生掌握極限及連續的基本概念，并能熟練運用它們的一些主要性質，對學好微積分至關重要。

任教10年來，筆者發現極限的概念及運算對各屆學生來說（包括本、專科學生），都是一個難點。首先，極限思想不好理解，其次，函數類型多變，極限方法又很多，學生不知如何下手。本文從極限思想的引入出發，總結了極限運算的常見題型，并指出解決方法，希望能給同行的教學和學生的學習提供有益的參考。

1 極限思想的引入

要想讓學生樹立極限思想，理解極限的概念，必須以生活中他們所熟知或者容易理解的現象為引例，讓他們感知極限。筆者認為，可引用我國古代數學史上的一些極限思想：我國古代數學家劉徽利用圓的內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法——割圓術，就是用極限思想研究幾何問題。他利用割圓術科學地求出了圓周率的結果，并提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作。《莊子，天下篇》中提到“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。”介紹這些歷史知識，一方面，可以增強學生的民族榮耀感，另一方面，學生在了解數學史的過程中，腦海中已經建立了數學思想的雛形，達到深入淺出的效果。

2 一元函數極限運算的分類和解題技巧

學生有了極限思想后，任課教師順勢給出極限的定義，強調函數的極限與自變量的變化趨勢有關，即自變量不同的變化趨勢下，函數的極限也不盡相同。實踐證明，如此安排教學，學生易于接受和理解。掌握函數極限的定義后，引入函數的極限運算法則。運算法則告訴我們，在自變量的同一變化過程中，如果各函數的極限存在，則四則運算和極限運算可交換次序，即，函數的和、差、積、商的極限等于各函數極限的和、差、積、商（分母極限不為零），常數可提出不參與運算。筆者在教學過程中總結了函數極限運算的心得，其中心思想是：先判斷類型，然后對癥下藥。第一類為多項式函數求極限，根據運算法則可得到極限值等于函數值的結論；第二類為多項式除以多項式的分式求極限，該類題目又分為五種類型，不同的類型有不同的解決方法；首先，判斷類型的方法是：趨向于幾，就把該數字帶入分子、分母，若都是非零常數，則為型，根據運算法則該極限值等于分子、分母極限的商，數值上等于函數在該點的函數值；若分子為零，則為型，由運算法則知該極限為零；若分母為零，則為型，因分母極限為零，所以運算法則失效，但根據無窮大與無窮小的關系，可知該極限為無窮大，即極限不存在；若分子、分母同時為零，則為型，可通過因式分解或有理化將零因子消掉，就可化為多項式或型，即可解決。另也可用洛必達法則，先對分子、分母求導，然后再求極限；若分子、分母都無限增大，則為型，分子、分母同除以的最高次數，其中若，可用重要結論。對于型和型，在學過導數的應用后，可用洛必達法則，即分子、分母先求導然后再求極限。第三類是被求極限的函數形式和兩個重要極限的形式類似，則利用兩個重要極限解題。以上思想可用下圖說明：

另外，在極限運算過程中，可適當使用等價無窮小代換：

3多元函數極限的引申與推廣

對于多元函數，有命題：一切多元初等函數在其定義域內都是連續的，所以，要求多元初等函數在其定義域內某點處的極限，直接求函數值即可。若不在定義域中，可嘗試用變量代換的方法，將多元函數的極限問題，轉化為一元函數的極限問題。

例： 求

解：

原式=

即轉化為一元函數的極限問題

由重要極限可知，該極限為1.

極限運算的題目類型多，方法也很多，如何根據題目的特征準確、快速的找到解題方法，是困擾學生的一大問題。本文所總結的類型和解題技巧是筆者教學和實踐中的一些心得，初學者在學習過程中，可參考本文先判斷出極限題目的類型，然后根據本文所給的解題思路和技巧，輕松、快速、準確地得到答案，對其提高極限運算的能力和學好微積分有很大幫助，同時也鍛煉了學生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻

[1]吳麗華，李彪.高等數學第一版[M].吉林大學出版社，2010，4

[2]于海波，齊振東.高等數學第一版[M].新華出版社，2008，6

[3]盛耀祥.高等數學第二版[M].高等教育出版社，2003，1