用“約束條件法”和“公式法”求二階線性微分方程的特解

邱法玉

【摘要】用本文中的“約束條件法”和“公式法”求二階線性微分方程的特解，能收到既快又準之效。

【關鍵詞】約束條件法 公式法

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）37-0126-01

一、求y"+py'+qy=pm（x）e？ x特解y 的“約束條件法”

我們知道，滿足上述微分方程的特解形式為y =R（x）e？ x.將其代入原方程得如下約束條件

R"（x）+（2？ +p）R'（x）+（？ 2+p？ +q）R（x）=Pm（x）.

（1）當？ 是特征方程r2+pr+q=0的二重根時，必有？ 2+p？ +q=0，且由韋達定理得？ +？ =-p，此時約束條件簡化為；R"（x）=Pm（x）；

（2）當？ 是特征方程r2+pr+q=0的單根時，必有？ 2+p？ +q=0，且 2？ +p≠0. 此時約束條件簡化為R"（x）+（2？ +p）R'（x）=Pm（x）.

例1求微分方程y"-6y'+9y=（x+1）e3x的一個特解。

解 由于？ =3是特征方程r2-6r+9=0的二重根，所以特解形式必為y =R（x）e3x=x2Rm（x）e3x=x2（ax+b）e3x=（ax3+bx2）e3x，

此時R（x）=ax3+bx2，且滿足約束條件R"（x）=Pm（x）.

將R'（x）=3ax2+2bx，R"（x）=6ax+2b，Pm（x）=x+1，代入上式得6ax+2b=x+1，

即a= ，b= ，所求特解y =（ x3+ x2）e3x.

二、求y"+py'+qy=e？ x（A cos？ +Bsin？ ）特解y 的“公式法”

公式1 當？ ± i是特征方程r2+pr+q=0的根時，特解為

y =xe cos ？ + sin ？ .

證由題設，特解形式y =xe （a cos ？ +b sin ？ ）

由韋達定理2？ =-p？ 2+ 2=q，于是原微分方程變為

y"-2？ y'+（？ 2+ 2）y=e （A cos ？ +B sin ？ ）

將所設特解代入上述變形后的微分方程，整理得

2b cos？ -2a sin？ =Acos？ +Bsin？ ，

比較系數得 a= ，b= .

例2求微分方程y"-2y'+5y=e sin2x的一個特解。

解y"-2y'+5y=e sin 2x=e （0·cos 2x+1·sin 2x），

所以？ =1， =2，且A=0，B=1.

由于？ ± i=1±2i是特征方程r2-2r+5=0的根，

所以特解y =e cos ？ + sin ？ = xe cos 2x.

公式2當？ ± i不是特征方程r2+pr+q=0的根時，特解

y =e （a cos ？ +b sin ？ ），且

a= b=

證 將所設特解代入微分方程，整理得

[a（？ - +p？ +q）+b（2？ +p ）]cos ？

+[-a（2？ +p ）+b（？ - +p？ +q）]sin ？ =Acos ？ +Bsin ？ .

比較系數，得（？ - +p？ +q）a+（2？ +p ）b=A-（2？ +p ）a+（？ - +p？ +q）b=B

由行列式即可解得上述結論。