空間第二類曲線積分計算方法

2017-10-20 09:59:42董紅昌

課程教育研究 2017年37期

【摘要】研究了空間第二類曲線積分的三種基本計算方法，并通過實例來說明每種方法的具體應用和解題時需注意的問題。

【關鍵詞】第二類曲線積分參數方程斯托克斯公式

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）37-0151-02

初學者對平面第二類曲線積分計算掌握比較熟練，對處理空間第二類曲線積分問題往往無從下手。本文介紹計算空間第二類曲線積分常用的三種方法，并說明具體解題時需注意的問題。

一、參數方程法

根據曲線參數方程計算空間第二類曲線積分是參數法計算平面曲線積分情形的推廣，也是計算空間第二類曲線積分最常用的方法之一。

參數方程法內容如下：設有向曲線的參數方程為x= （t）y=？鬃（t）z=？棕（t），則 P（x，y，z）dx+Q（x，y，z）dy+R（x，y，z）dz= {P[ （t），？鬃（t），？棕（t）] '（t）+Q[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？鬃'（t）+R[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？棕'（t）]}dt.

其中下限？琢對應的起點，上限？茁對應的終點。

用參數法計算空間第二類曲線積分，關鍵是寫出曲線的參數方程。高等數學習題和考研題中，第二類曲線積分涉及的空間曲線最常見的是線段和圓兩種類型。

下面各舉一例說明算法和需要注意問題。

例1 計算 xdx+ydy+（2x+y-z）dz，其中為由A（1，1，1）到B（2，3，4）的直線段。

解直線段AB的方程是 = = ，化為參數方程得：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t從0變到1.

所以 xdx+ydy+（2x+y-z）dz= [（t+1）+（2t+1）·2+（t+2）·3]dt=13.

注1 當直線段垂直某個坐標軸時，則直線段對該坐標的第二類曲線積分為零。

例2 計算 xyz d z，其中是由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得曲線，從z軸正向看去，沿逆時針方向。

解由y=zx +y +z =1得x +2y =1，故的參數方程可設為x=cos ty= sin tz= sin t，t從0變到2？仔. xyz d z= cos t sin tdt= ×4 cos2t（1-cos2t）dt= （ × - × × ）=

注2 曲線化為圓參數方程時，主要利用同角的正弦余弦平方和為1這個公式。

注3 曲線化為圓參數方程時，根據曲線的方向，寫準參數的起止范圍。

二、斯托克斯公式法

斯托克斯公式是格林公式的推廣，表達了曲面積分和沿曲面的邊界曲線的曲線積分之間的聯系，具體可表達為 dydz dzdx dxdy P Q R= Pdx+Qdy+Rdz，或 cos ？琢 cos ？茁 cos ？酌 P Q Rd S= Pdx+Qdy+Rdz，其中的正向與的側符合右手規則，{cos ？琢，cos ？茁，cos ？酌}為在點（x，y，z）處的法向量。

例 3 計算（y2-z2）dx+（2z2-x2）dy+（3x2-y2）d z，其中是平面x+y+z=2與柱面x+y=1的交線，從z軸正向看，為逆時針方向。

解

（y2-z2）dx+（2z2-x2）dy+（3x2-y2）dz= y2-z2 2z2-x2 3x2-y2 d S= （-8x-4y-6z） d S= [-8x-4y-6（2-x-y）] × dx dy= （-12-2x+2y）dx dy =-12 dxdy+0=-24.

注4 斯托克斯公式計算曲線積分，曲面的側和曲線的正向一定要滿足右手規則。

三、投影算法

投影算法就是把空間曲線投影到某一個坐標面，轉化為平面曲線積分計算。

例4 計算（z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz，其中是曲線x2+y2=1x-y+z=2，從z軸正向看，為逆時針方向。

解

（z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz= L[（2-x+y）-y]dx+[x-（2-x+y）]dy+（x-y）d（2-x+y）= L（2-2x+y）dx+（3x-2y-2）dy= （3-1）dxdy=2？仔.

其中L為在坐標面xOy上的投影，方向為逆時針方向，D為L圍成的閉區域，即D：x2+y2≤1.

空間第二類曲線積分的三種基本計算方法，各有自己特點。在解題時，需根據具體問題選擇比較合適的方法來計算。

參考文獻：