合理構造輔助函數

馬維+++高明

【摘要】數學分析中有幾個微分中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理都是微分學中十分重要的定理，對微分學影響巨大，而它們的證明正是以構造輔助函數為橋梁，才得以完成。數學本來就是貫通的，所以這種構造輔助函數的方法在中學數學解題中也發揮著重要的作用。下面筆者會用一些例子來說明怎樣去構造一個具體的函數，又怎樣利用函數的性質去解決具體問題。

【關鍵詞】構造 輔助函數 單調性

【基金項目】西華師范大學2014年校級教學改革研究項目，項目編號：403/403299。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）37-0243-01

一、利用輔助函數的單調性解題

在一些不等式問題中，往往需要我們恰當的放縮，來達到證明不等式的目的。最近幾年，尤其是在高中競賽題中，不等式的考查成為熱點內容，對于某些不等號兩邊有類似的形式的不等式我們可以通過構造函數，利用所構造函數的單調性來解決。其中這類不等式有絕對值不等式、高次不等式、三角函數不等式、含指對數的不等式等等。

例1 a>b>0，求證： > .

分析與證明：注意到不等式兩邊的形式是相同的，只是指數不同，一個是 ，一個是2，所以利用其形式的一致性，我們構造函數f（x）= = -1，因為 a>b>0，所以0< <1，所以容易得到f（x）= = -1在R上單調遞增，∵ >2 ∴ >

注意觀察不等式的特點，構造合理的輔助函數，利用輔助函數的單調性可以有效地解決這類問題。

二、利用輔助函數的奇偶性解題

在一些含有比較復雜結構的等式中，想要解出這個等式十分困難，所以我們可以根據其類似的形式，構造新的輔助函數，利用其奇偶性來解決。

例2 設實數x，y∈- ， ，a∈R，且x +sinx-2a=04y +siny cosy+a=0，則cos（x+2y）= .

分析與解答：這是一個方程組，雖然它們表面上沒有相同的形式，但我們卻可以通過配湊來達到相同形式的目的，然后通過構造合理函數來解決。

證明：原方程組可轉化為x +sinx=2a （2y） + sin2y= （-2a）即x +sinx=2a（2y） +sin2y=-2a

構造輔助函數f（t）=t3+sint 顯然f（t）為奇函數，且在- ， 上單調遞增。又由于f（x）=x +sinx=2a，f（2y）=（2y） +sin2y=-2a

故f（x）=-f（2y）=f（-2y） ∴x=-2y，x+2y=0，cos（x+2y）=1

三、利用輔助函數的凹凸性解題

函數的性質，除了單調性、奇偶性，其實還有凹凸性，我們也可以根據新函數的凹凸性來解決問題。

例3 設x，y，z為正實數，且x+y+z=1，則函數f（x，y，z）= + + 的最小值。

分析與解答：三元函數f（x，y，z）的三個式子都具有相同的形式，所以容易構造輔助函數，此處筆者通過構造兩種不同的輔助函數來解決這個問題。

（方法一）證明：構造輔助函數g（t）= ，t∈（0，1）

∴f（x，y，z）=g（x）+g（y）+g（z）

g'（t）= >0

∴g（t）在（0，1）上是下凹函數

∴ ≥g =0 故f（x，y，z）≥0

（方法二）證明：構造輔助函數h（t）= ，t∈（0，1）

h'（t）= >0

∴h（t）在（0，1）上單調遞增 ∴任取t1，t2∈（0，1）有（h（t1）-h（t2））（t1-t2）≥0 即h（t）-h t- ≥0 ∴ - t- ≥0

∴ - ≥ t- ∴ ≥ t-3

∴f（x，y，z）= + + ≥ （x+y+z-3）=0

化曲為直也是一種重要的數學思想方法，當然了前提是要合理構造函數，不同的構造方法自然會產生不同的解決方法。輔助函數的構造離不開分析、推理和聯想，恰當的構造，能夠幫助我們簡便有效的解決某些問題，達到了化繁為簡、化難為易的目的。函數是貫穿整個高中的一條主線，在構造新函數的時候，需要仔細觀察等式、不等式的特征，利用一些基本初等函數的性質來解答。endprint