適時“轉化”，發展學生數學思維

陳曉雨

轉化思想是分析問題、解決問題的一種基本數學思想。在“2016-2017學年度1-6年級數學下教學指導意見”中就有提到“利用圖形的轉化，感悟轉化是解決問題的有效策略”。布盧姆在《教育目標分類學》也給出明確定義：數學轉化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力”，即在研究數學問題時將特殊轉化為一般，把整體轉化為局部，將高級轉化為低級等。它包含了數學特有的數、式、形的相互轉換，是一種思想方式的轉換。

一、特殊與一般，認識屬性

任何客觀事物都具有特殊和一般兩面性。特殊既存在于一般性中，又反映著一般的某些屬性。運用轉化思想，既可以實現一般向特殊的轉化，使需要解決的具有一般性的問題轉化為特殊形式來解決，也可以運用特殊向一般的轉化，通過解決一般性問題而使得特殊問題得到解決。

當學生遇到某些特殊問題很難解決時，可把待處理的特殊問題放在一個更為廣泛、更為一般的問題中加以研究，解決一般情形，再把解決一般情形的方法或結果應用到特殊問題上，最后獲得特殊問題的解決，這種解決問題的思想為一般化思想。例如蘇教版六年級下冊練習十四第三題：計算右圖圖形的周長。

這道題明顯是要將特殊問題轉化成一般問題。這是一個特殊圖形，可以將這個特殊圖形轉化成三個半圓的圖形進行求解。

對于某個一般性的數學問題解決起來十分困難時，可以先解決特殊情況，從研究一般對象轉變為研究特殊對象，然后再把解決特殊情況的方法或結論應用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答，這種解決問題的思想為特殊化思想。特殊化思想在小學階段應用的并不多，僅僅在蘇教版四年級下冊中提及，由“等邊三角形，直角三角形的三個角度之和為180°的特殊情況推廣到“所有三角形的內角和為180°。

一般化思想與特殊化思想是數學中極其重要的思想，人類尋求自然界法則往往首先是從特殊的現象中了解到規律，然后再推廣到一般規律。小學培養特殊與一般的思想是讓學生善于發現，善于從普通的事物中發現特殊之處。

二、整體與局部，分解組合

解決整體與局部之間的問題有化整與拆分兩種手段，化整是指將問題看成一個整體，進而研究整體形式、整體結構、整體所具有的性質來解決問題，這種手段可以簡化步驟，得到該整體各個部分所共有的性質。拆分是指講一個整體看成由多個局部構成，通過研究局部來得到各部分內部具體的性質，通過局部各部分之間的關系得到整體的性質。例如下面這個將局部化整的問題：蘇教版五年級下冊數學教材練習十九（如右圖）：正方形的面積為8平方厘米，求涂色部分面積是多少平方厘米？

學生在求解這道問題時是通過正方形的面積得到邊長，而邊長等于圓的半徑，通過半徑再求出圓的面積進而求解出涂色的面積。

如果這道題的“正方形面積”是可以開方的，如4或16，那么學生可以十分簡單地求出最后的解，而經過簡單的變換“正方形面積為8平方厘米”則難倒一大批學生。因為學生們往往由于正方形的面積是8平方厘米，求不出開方后的結果（√8=2√2≈2.828，小學內容未涉及根號），也就得不出圓的半徑，求面積更無從下手，此時就可以發現，雖然學生知道這道題怎么求，但是他們不知道將局部數值看成整體代入式中，局限于先求半徑再求出圓的面積。假若學生知道局部化整的話，他們完全可以繞開求解圓的半徑，具體解決如下：

圓的面積：S=r·r·π，

正方形的面積：S=r·r=8，

由此可見圓的面積就是8π，進而可以得出涂色部分面積是6π。在分析問題過程中發現，正方形的面積是可以帶入的，從而省去了求解邊長這一中間步驟。

化整與拆分是學生必須要具備的能力，在小學及早培養轉化意識，可以讓他們擁有更靈活的解決問題的手段。

三、高級與低級，化難為易

有些問題看起來可能十分復雜，而再復雜的問題也是由簡單問題組成的，解決數學問題需要將問題分解成簡單問題再進行解決，如解方程所用的消元、降冪以及解決空間問題的降維等方法，均可使問題簡單化。小學中的主要應用是將高級圖形轉化成低級圖形，從而解決問題。

例如蘇教版五年級下冊數學教材練習十九（如右圖）：

先在圖中量出需要的數據（取整毫米），再計算涂色部分面積。這道題絕大多數學生可以做得出來，只需要兩個半圓相減即可。下面這道題是由上題變形而來的題型，很明顯難度增加了。如右圖，若已知涂色面積為x，求解未涂色區域面積。

求解過程如下：

將這個高級圖形轉化成簡單圖形，要求未涂色面積，需要先通過1/4圓求出半徑，然后再求出小半圓面積，用涂色減去小半圓區域就是未涂色區域面積。

由題意得R²=4π/π=4，解得R=2（大圓半徑），則r=R/2=1（小圓半徑），S=r²π=π（小圓面積），S/2=π/2（小半圓面積），于是未涂色區域面積為π-π/2=π/2。

由高級變為低級的目的是將困難問題變為簡單問題，這是解決數學問題最基本的方法，雖然每一位學生都懂，但由于手段有限不知如何簡化，所以學會簡化過程是一個長期積累的過程。

總而言之，轉化方法有許多途徑，涉及數學的多個領域，越早讓學生接觸到轉化思想，就越早可以讓學生的思維變得靈活，解決數學問題的能力越強。