論高中數學中“數形結合”的重要性

鄭志興

一、中學數學教學中“數形結合”思想的運用及實施

數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學（恩格斯語）。數學中兩大研究對象“數”與 “形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展歷史長河中的一條主線，并且使數學在實踐中的應用更加廣泛和深入。

一方面，借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。將數學中的代數問題形象化。

另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。這種“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。因此，數形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種重要的數學思想，它是將知識轉化為能力的“橋”。

而課堂中多媒體的應用更有利于體現數形結合的數學思想方法，有利于突破教學難點，有利于動態地顯示給定的幾何關系，為學生創設愉快的課堂教學氣氛，激發學生的學習興趣，使學生喜歡數學，愛學數學。

數形結合的途徑

二、數形結合是高中數學中的一個重要的解題思想方法，下面簡單介紹一下數形結合的途徑

1.由數到形的轉換途徑

一是方程或不等式問題常可以轉化為兩個圖象的交點位置關系的問題，并借助函數的圖象和性質解決相關的問題。

二是利用平面向量的數量關系及模 的性質來尋求代數式性質。

三是構造幾何模型。通過代數式的結構分析，構造出符合代數式的幾何圖形，如將 與正方形的面積互化，將 與體積互化，將 與勾股定理溝通等等。

四是利用解析幾何中的曲線與方程的關系，利用數學中一些代數式的幾何意義來解題。重要的公式（如兩點間的距離 ，點到直線的距離 ，直線的斜率，直線的截距）、定義等來尋求代數式的圖形背景及有關性質。

2.由形到數的轉換途徑

（1）解析法

建立適當的坐標系（直角坐標系，極坐標系），引進坐標將幾何圖形變換為坐標間的代數關系。

（2）三角法

將幾何問題與三角形溝通，運用三角代數知識獲得探求結合的途徑。

（3）向量法

將幾何圖形向量化，運用向量運算解決幾何中的平角、垂直、夾角、距離等問題。把抽象的幾何推理化為代數運算。特別是空間向量法使解決立體幾何中平行、垂直、夾角、距離等問題變得有章可循。

三、數形結合在教學中的運用

“數無形時不直觀，形無數時難入微”道出了數形結合的辯證關系，數形結合簡言之就是：見到數量就應想到它的幾何意義，見到圖形就應想到它的數量關系。在數學教學中，數形結合對啟發思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數形結合滲透在中學數學的每個部分，根據數形結合的觀點，可以通過對數量關系的討論來研究圖形的性質，也可利用圖形的性質來反映變量之間的相互關系，因此數形結合可以使數和形相互啟發、相互補充、相互印證。為了培養學生形成數形結合的思維習慣，在高中數教學中就要有意識地滲透數形結合的思想和方法。

四、要學會靈活的把代數問題轉化為幾何問題

在平面直角坐標系中作出兩個函數的圖象，如圖，形中覓數，可直觀地看出兩曲線有3個交點。

（3）在解析幾何上的應用個例分析

綜上所述，數形結合的思想就是把問題的數量關系和空間形式結合起來考查的思想，根據解決問題的需要，給“數”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，變抽象為直觀；給“形”的問題以數的度量，分析數據之間的關系，更能從本質上認識“形”的幾何屬性，簡而言之“數形互相取長補短”。

五、正確使用數形結合思想，有可能出現的問題

“數”與“形”作為數學研究的兩個基本對象，既是統一又是對立。運用數形結合思想時，要注意“數”與“形”的等價原則。下面僅舉例分析最常見的錯誤。

畫圖不準確，忽視考慮圖形的整體性，如等價性原則中的例題所示。

在使用數形結合思想解題時，出現的問題不局限做草圖，所以在應用數形結合法解題時應注意三個問題。

一是要徹底明白一些概念和運算的幾何意義，以及曲線與方程的對應關系

二是通過坐標系做好“數”與“形”之間的轉化

三是正確確定變量的取值范圍

通過以上幾個方面的探討，我們初步領略了數形結合在解題中的美妙所在了。數形結合思想在數學解題中的應用很廣泛，滲透在學習新知識和應用知識解決問題的過程之中，需要平時多注意數形結合的應用，有意識地加強這方面的訓練，提高數學思維水平。