輔助函數在數學分析中的重要性

鄧貴蘭

數學分析是數學專業的一門重要的基礎課程，這門課程學習的好壞，直接影響到其它后續課程的學習。而檢查這門課程掌握的程度主要是對概念的理解、對定理的應用，其中重要的手段之一就是研究命題的證明。

證明命題的方法很多，通過構造輔助函數使某些命題得到簡捷而明了的證明，就是一個很好的方法。在數學分析中，拉格朗日中值定理、柯西中值定理、不等式與恒等式的證明、拉格朗日條件極值、線性微分方程求解公式等，都是通過構造一個輔助函數來完成推證的。同樣柯西中值定理的證明也是通過構造輔助函數而得證的。

輔助函數方法是數學分析中解決問題的一種重要方法，在證明和計算過程中，有些問題直接去做往往很困難，而構造適當的輔助函數去進行證明和計算往往可以化難為易，使問題迎刃而解。

一、輔助函數在數學分析中的重要性

（一）輔助函數的基本特點

第一，輔助函數題設中沒有，結論中也不存在，構造輔助函數僅是解題的一個中間過程，類似于平面幾何中的輔助線，起輔助解題的作用，如我們熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明。

第二，同一個命題可構造不同的輔助函數用于解題。

第三，表面上看構造輔助函數的思路較寬廣，實質上，不同的輔助函數直接關系到解題的難易。

因此，構造最恰當的輔助函數是解題的關鍵。

（二）輔助函數在數學分析中的重要性

數學分析中許多理論問題的解決都涉及到構造輔助函數的方法。某些很復雜的問題構造了一個適當的輔助函數，能使問題變得非常簡單。具體體現在：

（1） 微分中值定理的證明引入了輔助函數，通過明確的函數關系式，使其證明得到了完美的解決。

由此可見，輔助函數在數學分析中的證明和計算中發揮著十分重大的作用。

二、輔助函數在數學分析中的應用

（一）輔助函數在微分中值定理中的應用

微分中值定理是微分學中的基本定理之一，而其證明往往需要構造輔助函數，是微積分教學活動的重點之一，也是教學中的難點。因此，研究輔助函數的構造方法對于我們學習和掌握微分中值定理來說是十分必要的。

（二）輔助函數在判別方程根的存在性中的應用

解方程 ，實質上就是求函數 的零點。有關于函數零點的問題，許多都是通過構造輔助函數作為橋梁，再應用相應的定理得以使問題解決。

1.應用零點存在定理判別方程根的情況

應用零點存在定理判別方程根的情況時，將方程一端化為零，令另一端為某一函數，構造出輔助函數.

2.應用羅爾定理判別方程根的情況

應用羅爾定理判別方程根的情況時，將方程一端化為零，選取另一端的原函數為輔助函數.

（三）輔助函數在證明不等式中的應用

用輔助函數證明不等式，常用的方法有：利用函數的單調性、利用拉格朗日中值定理、利用函數的凸凹性。

利用函數單調性證明不等式：

2.3.2利用拉格朗日中值定理證明不等式

2.3.3利用函數的凸凹性證明不等式

（四）輔助函數在證明恒等式中的應用

（五）輔助函數在求函數極限中的應用

在求離散型變量的極限時往往通過構造輔助函數使離散變量連續化，然后（六）輔助函數在計算積分及求導函數值中的應用

有時確定被積函數的原函數是十分困難的，若能引入適當的輔助函數，困難就解決了.

（七）輔助函數在近似計算中的應用

輔助函數可以很簡便地解決一些證明問題，用好輔助函數能起到事半功倍的效果。構造輔助函數的內涵十分豐富，沒有固定的模式和方法。在數學分析的教學過程中，有意識地培養學生掌握構造輔助函數法且能用來解決問題，有助于學生加深和概括所學知識，培養學生良好的邏輯思維能力。