趣味連續和等式

吳朝陽，數學博士，歷史學博士，計算機科學碩士，目前任教于南京大學。

“阿尚，1加2等于幾？”“5啦。拜托——人家開學就3年級了。”“好吧，那4加5加6等于多少？”“很簡單，等于15。”“為什么不說等于7加8呢？”“哦，真的是噢。”“阿尚，那你說9加10加11加12等于多少？”“那就等于13加14加15嘍。”

在去瑞士的大巴上與小侄子的這段對話，引出的是如下一系列有趣的等式：

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20=21+22+23+24

這個系列可以一直寫下去，它有以下兩大特點：①每個等式里的數都是連續自然數；②左邊比右邊多1個數。此外，我們還注意到，這系列等式恰好用盡所有的自然數，而第n個等式右邊有刀個數，左邊則比右邊多1個。還有，等式中左右兩串數的分界數有一個簡單的公式：n（n+1）。

有趣的事情還有很多，例如，我們還有如下的系列等式

0+1+2=3

4+5+…+8=9+10+11

12+13+…+18=19+20+…+23

24+25+…+31+32=33+34+…+38+39

……=……

這系列等式從0開始，恰好用盡所有非負整數。與上一個系列不同，這系列等式左邊總是比右邊多2個數，其第n個等式左邊有（n+2）個數，右邊是n個，而這兩串數的分界為2n₂。

如此有趣，我們自然會想：如果左邊比右邊多出u個數，會不會有系列等式？如果有的話，又會是什么樣子？于是，我們開啟探索模式。

設等式中參與加法的數從左到右是連續自然數，右邊有m個數，左邊多了u個，有m+u個數。記左邊開始的數為后，則左邊最后一個數是k+m+u-1。相應地，等式右邊開始于k+m+u而終結于k+2m+u-1。于是，由等差數列的求和公式，我們得到：

于是，第一個等式的左邊是從2到43，右邊是從44到61。暗藏的一個趣味點是：這系列等式雖然不是從1開始，但后一個等式的數也恰好是接著上一個等式的。