淺談數學探究中思想方法的自我習得

張素萍

【內容摘要】思想方法是數學探究的內核。對于學生來說，數學思想方法的獲得，是學生自我習得的結果，教師的教只能對學生的自我習得起輔助作用。本文以數形結合思想方法為例，闡述了相關觀點。自我習得是數學探究返魅的必要條件！

【關鍵詞】數學探究 思想方法 自我習得

數學探究是新課標倡導且已經成為教學常態的學習方式之一，在高中數學探究的過程中，對于數學思想方法的習得，是研究的重點之一。本文試從“自我習得”的視角作一管窺。

一、數學探究中思想方法的存在

數學探究與數學思想方法關系密切，在前者中有著后者的廣泛存在，作為數學教師，要從數學實例中分析這種存在。

以數形結合為例，這是數學知識建構過程中常用的思想方法之一，在數學探究中亦常常能夠發揮重要作用。華羅庚先生曾說，“數形結合百般好，隔離分家萬事休”，作為數學教師，要關注這一思想方法的存在，并努力發揮其在開拓學生思維方面的作用。

如在“圓錐曲線”這一內容的學習中，問題可由文字形式提出：用一個平面截一個圓錐面，所得到的圖形可以由什么樣的關系式來描述？（這一問題既是“圓錐曲線”這一節探究的起點，同時也指向后三節具體的曲線方程的建立，具有一定的統領意義。）

這是一個可探究的問題，如果不出意外，此問題思考的過程中，學生會下意識地將文字轉換為圖形，這個“下意識”實際上就是圖形意識作用的結果，從數學思維的角度來看，則是將抽象的文字轉換為形象圖形的結果，其所依賴的是學生的表象想象能力。其后，尋找圖形的曲線方程，也是依賴此時構建的圖形而進行的，方程的建立源于等量關系的建立（這屬數的范疇），等量關系的尋找須基于圖形。在學生探究的過程中，由于切入角度不同，因此所獲得的曲線其實也是不同的，這一不同對于本內容的學習而言，意義非凡。其中最顯著的意義，就是無形當中給學生提供了四個變式——后四個圖形曲線方程的得出思路，一定是建立在第一個圖形分析基礎之上的（五個圖形分別是直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線，但圓錐曲線這一章重點討論的是后三者，因此下一點的闡述只與這三者有關）。

高中數學知識建構過程，就是數形結合思想方法不斷被運用的過程，該思想方法對高中數學學習起到支撐作用。

二、數學思想方法自我習得探究

思想方法是客觀存在的，但客觀存在與學生接受、理解卻不是一回事。如果說數學知識體系的建構常常帶有明顯的教師輔助特征的話，那數學思想方法的內化，則應當是“自我習得”的結果 ——這一判斷來自于筆者在教學中的探究。

“自我習得”意味著學生在數學思想方法掌握中的主體地位，意味著外界無法替代。數形結合思想方法在義務教育階段常有涉及，到了高中數學學習中，它的進一步成熟本質上仍然是自我習得的結果。

就拿上面所舉的“圓錐曲線”中的數學探究環節而言，一開始學生就因為自身的意識（實際上是此前數形結合思想方法運用后形成的直覺），而認識到必須通過畫圖來解決問題（當然實際上教師可以以課件來讓學生的表象更為清晰——這個表象是以數學圖形的形式存在的）；其后，當學生得到三種結果并嘗試探究其曲線方程時，學生的數形結合思想方法的自我習得過程是怎樣的呢？簡述如下：

首先，學生會選擇自己最熟悉的圖形進行研究。比如說在選擇了橢圓之后，他們首先會在平面截圓錐面的圖形中凸顯出橢圓的存在，這是數形結合運用的一步，但這一步對于曲線方程或者說等量關系的建立尚無直接作用，于是學生需要進一步思考。根據教材中的思路，可以肯定的是學生此時是無法直接想到這一辦法的，因此需要教師的引導，包括在所確定的橢圓（面）兩邊各建構一個內接球，作一條母線即為兩球的切線等。其后借助于球外某點到球的切線長均相等的關系，建立等量關系，則是水到渠成的結果。

在此過程中，教師的引導是需要分析的過程：學生在此過程中所領悟的教師的思想方法，到底是教師教會的，還是學生自主習得的？教學經驗表明，此過程對于基礎較好的學生來說，至少可以分成兩類：一種是聽得懂說不出的；一種是聽得懂且說得出的。因為聽得懂說不出的學生，其并沒有真正懂得教師的思路。那學生怎樣才能順利說出呢？唯一重要的辦法，就是讓學生從數形結合的角度，思考是如何在原有基礎上借助于新的圖形（內接球、母線等），來讓等量關系呈現出來。——這是一個自主習得過程。

三、數學探究因自我習得而返魅

數學探究提出已經十數年，但在課堂上的存在更多的是一種不溫不火的狀態。原因為何？筆者給出的答案就是“自我習得”的缺乏。

勿庸諱言的是，數學探究常常以形式打動課堂教學評價者，這使得探究的原味嚴重流失。形式是不能代替實質的，數學思想方法的內化作為數學探究最有價值的內核，從學生視角來看，唯有通過“自我習得”過程的設計、實施與放大，才能讓數學思想方法真正變成屬于學生的數學學習特質。

哲學中有“返魅”一說，而自我習得，正是數學探究得以返魅的必要條件！

【參考文獻】

[1] 牛偉強、熊斌. 高中數學課堂中探究性學習的困惑與思考[J]. 教學與管理，2016（28）：55-57.

[2] 楊愛民. 高中數學圓錐曲線定義的幾點感悟[J]. 數學學習與研究，2013（5）：74-75.

（作者單位：江蘇省如皋市長江高級中學）endprint