一道立體幾何本源問題的探究

龔景煊

摘要：對于高三學生來說，每天都要做大量的數(shù)學題，是一件非常常見的事。但我們要思考的如何在有限的時間里，要做到高效，效果顯著等問題。所以，我個人認為，要對每一個問題搞清來龍去脈，弄清問題的本質(zhì)，這樣有利于提高效率，起到事半功倍的效果。

關鍵詞：效果效率本質(zhì)

問題起源：在一次高三數(shù)學模擬卷測試中，原題為：如圖，已知三棱錐 的所有棱長均相等，點 滿足 ，點 在棱 上運動，設 與平面 所成角為 ，則 的最大值為__________.

考試結(jié)束后，我對這個題目進一步的思考和研究，我當時的做法：

解法1：（用建系的方法）設 ，建立如圖所示的空間直角坐標系。

則

設 ，

所以 ，取平面 的一個法向量為 ，

所以， .

當 時，取到等號。

解法2：（用綜合的方法）如圖，過點 作 ，交點 必在 上，因為 ，所以 .所以 為直線 與面 所成的角。設 ， ，所以，

由 得， .

所以， .

當 時，取到等號。

我用兩種方法做完這個題目后，當 取到最大值時，我發(fā)現(xiàn)點 的位置剛好在 的中點，而點 是恰好是 的四等分點處。取 的中點 時，則我們可以發(fā)現(xiàn) ，所以 ，當 取得最大值時，角 剛好就是二面角的平面角 。

于是我對這個問題進一步的思考，當點 在邊 上運動時，此問題本質(zhì)就相當于 是面內(nèi)的一條動直線，這樣問題就相當于：在一個二面角內(nèi)，一個半平面的動直線與另一個半平面所成的最大角，那就是二面角的平面角。

下面證明一個平面內(nèi)的動直線與另一個半平面所成角的最大角就是二面角的平面角。

證明：如右圖所示， 是二面角的平面角， 是直線 與平面所成的角。 ， ，因為 所以 ，所以， ，所以問題得證。

類似題：（2014年浙江高考理科第17題）.如圖，某人在垂直于水平地面 的墻面前的點 處進行射擊訓練，已知點 到墻面的距離為 ，某目標點 沿墻面上的射線 移動，此人為了準確瞄準目標點 ，需計算由點 觀察點 的仰角 的大小（仰角 為直線 與平面 所成的角），若 ， ， ，則 的最大值是_______.

分析：有了上一題解題方法的總結(jié)此題我就可以秒殺了。動直線 與平面 所成的最大角就是平面 與平面 所成的二面角的平面角。馬上可以得到問題的答案 。

解題后記，我們高三一年需要做大量的數(shù)學題目，為了把自己從大量的題海戰(zhàn)術(shù)中解放出來，提高自己的解題速度、解題能力，提高復習效率。作為我們高三學生在解題過程中更多地要思考問題的本質(zhì)，對一類問題從多角度，多層次的不斷嘗試，總結(jié)解題經(jīng)驗和解題方法，特別要總結(jié)出某一類的數(shù)學本質(zhì)，做到觸類旁通，這樣才有利于節(jié)約我們的時間，提高復習的有效性。

參考文獻：

1.2014年浙江省高考真題；

2.必修2《人教A版》教科書endprint