一道立體幾何本源問題的探究

龔景煊

摘要：對于高三學生來說，每天都要做大量的數學題，是一件非常常見的事。但我們要思考的如何在有限的時間里，要做到高效，效果顯著等問題。所以，我個人認為，要對每一個問題搞清來龍去脈，弄清問題的本質，這樣有利于提高效率，起到事半功倍的效果。

關鍵詞：效果效率本質

問題起源：在一次高三數學模擬卷測試中，原題為：如圖，已知三棱錐 的所有棱長均相等，點 滿足 ，點 在棱 上運動，設 與平面 所成角為 ，則 的最大值為__________.

考試結束后，我對這個題目進一步的思考和研究，我當時的做法：

解法1：（用建系的方法）設 ，建立如圖所示的空間直角坐標系。

則

設 ，

所以 ，取平面 的一個法向量為 ，

所以， .

當 時，取到等號。

解法2：（用綜合的方法）如圖，過點 作 ，交點 必在 上，因為 ，所以 .所以 為直線 與面 所成的角。設 ， ，所以，

由 得， .

所以， .

當 時，取到等號。

我用兩種方法做完這個題目后，當 取到最大值時，我發現點 的位置剛好在 的中點，而點 是恰好是 的四等分點處。取 的中點 時，則我們可以發現 ，所以 ，當 取得最大值時，角 剛好就是二面角的平面角 。

于是我對這個問題進一步的思考，當點 在邊 上運動時，此問題本質就相當于 是面內的一條動直線，這樣問題就相當于：在一個二面角內，一個半平面的動直線與另一個半平面所成的最大角，那就是二面角的平面角。

下面證明一個平面內的動直線與另一個半平面所成角的最大角就是二面角的平面角。

證明：如右圖所示， 是二面角的平面角， 是直線 與平面所成的角。 ， ，因為 所以 ，所以， ，所以問題得證。

類似題：（2014年浙江高考理科第17題）.如圖，某人在垂直于水平地面 的墻面前的點 處進行射擊訓練，已知點 到墻面的距離為 ，某目標點 沿墻面上的射線 移動，此人為了準確瞄準目標點 ，需計算由點 觀察點 的仰角 的大小（仰角 為直線 與平面 所成的角），若 ， ， ，則 的最大值是_______.

分析：有了上一題解題方法的總結此題我就可以秒殺了。動直線 與平面 所成的最大角就是平面 與平面 所成的二面角的平面角。馬上可以得到問題的答案 。

解題后記，我們高三一年需要做大量的數學題目，為了把自己從大量的題海戰術中解放出來，提高自己的解題速度、解題能力，提高復習效率。作為我們高三學生在解題過程中更多地要思考問題的本質，對一類問題從多角度，多層次的不斷嘗試，總結解題經驗和解題方法，特別要總結出某一類的數學本質，做到觸類旁通，這樣才有利于節約我們的時間，提高復習的有效性。

參考文獻：

1.2014年浙江省高考真題；

2.必修2《人教A版》教科書endprint