問題引導(dǎo) 關(guān)聯(lián)思考 明晰本質(zhì)
——例說初中數(shù)學(xué)微探究的實踐與思考

朱建良

江蘇省太倉市第一中學(xué) (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領(lǐng)銜人

問題引導(dǎo) 關(guān)聯(lián)思考 明晰本質(zhì)
——例說初中數(shù)學(xué)微探究的實踐與思考

朱建良

江蘇省太倉市第一中學(xué) (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領(lǐng)銜人

初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)微探究主要著力于學(xué)生的學(xué)，是一種類似于課題研究的學(xué)習(xí)模式，微探究的教學(xué)目標(biāo)指向培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和探究能力，教師嘗試將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔⑻骄俊比蝿?wù)，在問題引導(dǎo)下啟發(fā)學(xué)生主動探究，有效改善傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的缺點，基于學(xué)生的親身經(jīng)歷，以疑問激發(fā)他們的求知欲望，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式和思維品質(zhì)，具有提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果和探究能力的功效．

《數(shù)學(xué)課標(biāo)2011版》指出，綜合與實踐是一類以問題為載體，重視問題情境創(chuàng)設(shè)，以學(xué)生主動參與為主的學(xué)習(xí)活動．倡導(dǎo)教師深入用好教材、挖掘教材，并在教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上開發(fā)微探究學(xué)習(xí)實踐活動，精心設(shè)計一個微探究學(xué)習(xí)內(nèi)容，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生善于思考、樂于探究．筆者以蘇科版九(上)數(shù)學(xué)第二章《圓》第四節(jié)《圓周角(3)——圓內(nèi)接四邊形》為微探究課題，談?wù)勗诮虒W(xué)實踐中的一些收獲和認識，供同行參考．

1．微探究學(xué)習(xí)內(nèi)容分析

微探究學(xué)習(xí)內(nèi)容為九(上)蘇科版數(shù)學(xué)§2．4 圓周角(3)——圓的內(nèi)接四邊形，其學(xué)習(xí)目標(biāo)為：(1)掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理．(2)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生動手操作、自主探索和合作交流的能力．(3)培養(yǎng)學(xué)生合情推理意識，掌握說理的基本方法，滲透從特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．

2．問題啟智、類比探究

從具體的作四邊形的外接圓的動手操作實驗出發(fā)來設(shè)計微探究學(xué)習(xí)內(nèi)容，類比作三角形外接圓的方法，激發(fā)學(xué)生的思維始終處于積極主動的狀態(tài)，通過猜想、發(fā)現(xiàn)與歸納推理，理解數(shù)學(xué)概念．?dāng)?shù)學(xué)概念的形成過程是進行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的最好載體，引導(dǎo)學(xué)生理解沒有“過程”就沒有“思想”．

圖1

問題1 (1)過三角形的三個頂點能畫一個圓嗎？為什么？(2) 過三角形的三個頂點這個圓叫什么？這個三角形又稱為什么？(3) 過四邊形的四個頂點能畫一個圓嗎？為什么？(4) 如圖1，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，請?zhí)骄俊螦與∠C，∠B與∠D有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？(說明理由)用幾何語言準(zhǔn)確表述你的發(fā)現(xiàn)．

解析:嘗試畫圖實踐操作入手，類比探究圓內(nèi)接四邊形ABCD性質(zhì)，得出∠A+∠C=∠B+∠D=180°的數(shù)量關(guān)系，歸納出“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”．

設(shè)計意圖:關(guān)注學(xué)生微探究學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生自己經(jīng)歷思考的過程，通過交流合作和動手操作來感悟和體驗知識發(fā)生、由來的過程，在學(xué)生親身感受、體驗的歷程后，抓住四邊形ABCD與⊙O的位置特征，運用合情推理去探索結(jié)論，從“共同特征”中歸納“本質(zhì)特征”，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗．

3．理解性質(zhì)，提煉方法

從簡單的特例出發(fā)，尋求圓周角之間的數(shù)量關(guān)系，以數(shù)學(xué)知識的探究過程為學(xué)習(xí)重心，通過學(xué)生獨立思考發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，設(shè)計動態(tài)變化的微探究問題情境，從本質(zhì)上探究圓周角之間的合理聯(lián)系與邏輯聯(lián)系．

圖2

問題2 如圖2，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠AOC=140°．

求：(1)∠ABC的度數(shù)；

(2) ∠OAD+∠OCD的度數(shù)．

變式1 (續(xù)問題2)如圖2，若DA=DC，你能求出哪些角的度數(shù)？

變式2 如圖2，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若有ABCO，你能求出哪些角的度數(shù)？

微探究問題設(shè)計基于學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，言簡意賅，應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)解決問題簡約明了，以特殊圓周角度數(shù)為突破口，幫助學(xué)生快速捕捉、理解有效信息、解決問題．

圖3

解析:(1)連接AC，在等腰ΔDAC中，求出∠DAC=55°，解讀四邊形ACED內(nèi)接于⊙O模型，得∠DAC+∠E=180°，求出∠E=125°.

在圓上增加一動點，將圖形變換，一圖多用，一題多變，問題設(shè)置別致精巧，平中見奇，微探究指向培養(yǎng)學(xué)生探究能力，幫助學(xué)生正確理解基本圖形、基本知識，通過特殊圓周角的求解，實現(xiàn)知識立意到能力立意的轉(zhuǎn)變．

設(shè)計意圖:通過將條件弱化或增強，從而轉(zhuǎn)化為微探究新問題，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行引申、推廣，促使學(xué)生積極思考，尋求最佳的解決思路，積累經(jīng)驗方法，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)的能力．問題2難度較低，為后續(xù)探究做好鋪墊，拓展問題為學(xué)生提供了展示自己智慧的舞臺，使其在新問題情境中探求出解決陌生問題的方法．

4．變式探究，拓展延伸

構(gòu)建“圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角”幾何模型，聯(lián)系三角形角平分線和三角形相似等相關(guān)性質(zhì)，采用類比聯(lián)想的研究方法，及時歸納總結(jié)出解決此類問題的一般方法，幫助學(xué)生在變式的微探究的思考中發(fā)現(xiàn)一類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的再發(fā)現(xiàn)過程．

圖4

問題3 如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接⊙O，DB=DC，∠DAE是四邊形ABCD的一個外角，問∠DAE與∠DAC相等嗎？為什么？

變式1 如圖4，ΔABC內(nèi)接⊙O，AD為ΔABC的外角平分線，交⊙O于D，連接BD、CD，判斷ΔDBC的形狀，并說明理由．

變式2 (續(xù)問題3)如圖5，若AF平分∠BAC，連接DF，問：DF與BC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

解析:通過尋求相等量，巧妙轉(zhuǎn)化，尋求∠DAE=∠DCB=∠DBC，變式1互逆變換問題3的條件

圖5

拓展如圖6，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC、BD相交于點F，BA、CD的延長線交于點E，若CB=CA=AE．

(1)判斷BD是否平分∠EBC，說明理由；(2)若CD=6，BD=8，求DF的長．

圖6

解析:依據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，尋求等腰ΔACE、ΔCAB角之間數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)，∠CAB=2∠EBD，又∠CAB=

通過變式問題縱向拓展，在編制問題、解決問題、完善問題的系列操作過程中經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思維的運用與逐步完善，數(shù)學(xué)微探究過程不止于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，更在于數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗、思想方法的內(nèi)化和遷移過程，從特殊到一般進行探究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的“火熱思考”，指向解題突破時要回歸到“圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)”的核心概念．

設(shè)計意圖:基于“理解數(shù)學(xué)”的視角，通過將問題設(shè)計成同一模型多個層次的問題串，變式探究，分散難點，逐層展開，循序深入，數(shù)學(xué)微探究按圖示方式展開：

真正體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的理念．

5．沉淀思維，積累經(jīng)驗

突出能力培養(yǎng)應(yīng)重視在問題解決中滲透數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的重要目的是積累解題經(jīng)驗，拓展數(shù)學(xué)思維深度，優(yōu)化解題策略．在思考題中以旋轉(zhuǎn)變換為問題載體，涉及操作不變性思想和分類討論的思想方法，幫助學(xué)生從特殊到一般的角度理解“化動為靜、動靜結(jié)合”的方法．

思考題已知在ΔABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E．(1)如圖7①，若AB=6，CD=2，求CE的長；(2)如圖7②，當(dāng)∠A為銳角時，試判斷∠BAC與∠CBE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)圖7②中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠BAC為鈍角時，如圖7③，CA的延長線與⊙O相交于點E，試判斷∠BAC與∠CBE的數(shù)量關(guān)系是否與(2)中你得出的關(guān)系相同．若相同，請加以證明；若不同，請說明理由．

圖7

設(shè)計意圖:“好奇——探究——解題——感悟——創(chuàng)新”是數(shù)學(xué)微探究學(xué)習(xí)的必由之路，以激發(fā)學(xué)生動手操作實驗為主線貫穿整個教學(xué)過程，問題設(shè)計從發(fā)散性視角培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因材施教，引導(dǎo)學(xué)生在微探究學(xué)習(xí)過程中深層地體會學(xué)習(xí)的樂趣．

課堂教學(xué)中，教師重視微探究學(xué)習(xí)的過程，微探究問題設(shè)計遵循學(xué)生的認知規(guī)律，立足于學(xué)生的實際認知水平和能力．以開放性、探究性的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、合作發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生正確理解問題，避免出現(xiàn)“只見教師智慧，不見學(xué)生感悟”現(xiàn)象，數(shù)學(xué)微探究對于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑問難的能力，具有十分重要的現(xiàn)實意義．

教學(xué)微探究是一種行之有效的教學(xué)方法，教師根據(jù)教材特點、學(xué)情設(shè)計微探究內(nèi)容，讓學(xué)生在經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程中，真正理解數(shù)學(xué)知識，內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)，形成技能，積累方法，獲得數(shù)學(xué)思想方法，通過數(shù)學(xué)微探究的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生更加有興趣地學(xué)習(xí)知識，提升學(xué)生實踐動手能力，提高數(shù)學(xué)思維模式的層次，提高教學(xué)效果，真正踐行有效教學(xué)．