對(duì)稱：解答極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的有效手段*

羅 成 劉成龍

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

對(duì)稱：解答極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的有效手段*

羅 成 劉成龍

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是近年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，引起了眾多老師們的關(guān)注.文[1-11]對(duì)極值偏移問(wèn)題作出了深入的研究，介紹了極值點(diǎn)偏移產(chǎn)生的原因、給出了極值點(diǎn)偏移的定義以及介紹了極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的三種處理策略：構(gòu)造一元階差函數(shù)、構(gòu)造對(duì)數(shù)平均不等式、利用換元法構(gòu)造函數(shù).文[4]認(rèn)為對(duì)數(shù)平均轉(zhuǎn)化法是該類問(wèn)題的本質(zhì)回歸.我們認(rèn)為該類問(wèn)題的本質(zhì)為“脫”f，即若m，n∈A，由f(x)在區(qū)間A上為單增函數(shù)(或減函數(shù))及f(m)>f(n)(或f(m)n(或m

1.極值點(diǎn)偏移的圖像表征

(1)極值點(diǎn)左偏

圖1 圖2

(2)極值點(diǎn)右偏

圖3 圖4

2.對(duì)稱法解答極值點(diǎn)偏移問(wèn)題簡(jiǎn)介

對(duì)稱在數(shù)學(xué)中普遍存在，比如：圖形對(duì)稱，結(jié)構(gòu)對(duì)稱等等.對(duì)稱在視覺(jué)上給人美的感覺(jué)，既能激發(fā)人的靈感，又能啟迪人的智慧.從數(shù)學(xué)本身來(lái)看，對(duì)稱是對(duì)象內(nèi)部結(jié)構(gòu)不變性；從解題學(xué)角度看，對(duì)稱是對(duì)象內(nèi)部信息的有序排列.作圖形1、2、3、4中左邊(或右邊)圖形關(guān)于直線x=x0的對(duì)稱圖形(見(jiàn)上文虛線).可以發(fā)現(xiàn)1、2、3、4虛線部分完全位于原圖同側(cè)部分的下(或上)方，這正是極值點(diǎn)產(chǎn)生偏移原因(x0左右函數(shù)圖像增減速度不同)的直觀展示.下面以圖1為例，從對(duì)稱的角度介紹極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理方法.

2.1 問(wèn)題(如圖1)

已知連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，若方程f(x)=c的解分別為x1、x2，且x12x0.

證明：作y=f(x)(xx0).令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(2x0-x)(x>x0)，得h′(x)=f′(x)+f′(2x0-x)>0(x>x0).于是h(x)>h(x0)=0，故f(x)>g(x)(x>x0)恒成立.由f(x1)=f(x2)>g(x2)=f(2x0-x2)，得到f(x1)>f(2x0-x2).因?yàn)閒(x)在區(qū)間(a,x0)上單調(diào)遞增，且2x0-x22x0-x2.故x1+x2>2x0成立.

2.2 方法提煉

對(duì)稱法解答極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的步驟：

(1)求極值點(diǎn)x0；

(2)利用對(duì)稱性構(gòu)造函數(shù)：

g(x)=f(2x0-x)(xx0).)；

(3)證明：f(x)>g(x)(或f(x)

(4)脫f：由f(x1)=f(x2)>g(2x0-x2)(或f(x1)=f(x2)2x0(或x1+x2<2x0).

3.運(yùn)用對(duì)稱法解答高考中極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)證明：當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí)，x1+x2<0.

解：(Ⅰ)解略.

圖5

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，為函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，為函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間.

設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex-(1+x)e-x(x<0)，所以h′(x)=x(e-x-ex)<0，于是h(x)>h(0)=0.故f(x)-g(x)>0(x<0)恒成立.不妨設(shè)x1<0g(x1)=f(-x1)，得f(x2)>f(-x1)，又-x1>0，由(Ⅰ)可知當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，所以x2<-x1，得x1+x2<0.

例2 (2010年高考天津卷)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x).

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

圖6

(Ⅱ)過(guò)程略.

(Ⅲ)記y=f(x)(x>1)圖像關(guān)于直線x=1的對(duì)稱圖像(如圖6虛線)的解析式為g(x)=f(2-x)=(2-x)ex-2(x>1).由(Ⅱ)可知f(x)-g(x)>0在x∈(1,+∞)上恒成立.不妨設(shè)x1<1g(x2)=f(2-x2).即f(x1)>f(2-x2)，又x2>1，所以2-x2<1.又f(x)在(-∞,1)上為單調(diào)遞增，所以x1>2-x2，故x1+x2>2.

例3 (2016高考全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2.

圖7

解: (Ⅰ)a>0，過(guò)程略；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，則函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.于是f(x)的極值點(diǎn)為x0=1.記y=f(x)(x<1)圖像關(guān)于直線x=1的對(duì)稱圖像(如圖7虛線)的解析式為g(x)=f(2-x)=-xe2-x+a(1-x)2(x<1).令h(x)=f(x)-g(x)=xe2-x+(x-2)ex(x<1)，h′(x)=(1-x)(e2-x-ex).因?yàn)閤<1，所以2-x>1，e2-x-ex>0，于是h′(x)>0.所以h(x)

不妨設(shè)x1<11，得x2<2-x1，故x1+x2<2.

例4 (2011年高考遼寧卷)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x．

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f′(x0)<0.

圖8

解:(Ⅰ) 解答略；

(Ⅱ)證明過(guò)程略；

通過(guò)以上4例可以看出，對(duì)稱是“脫”f的有力工具.對(duì)稱法解答極值點(diǎn)偏移問(wèn)題形象、直觀、有效.文中沒(méi)有運(yùn)用對(duì)稱判定極值點(diǎn)是左偏還是右偏，希望有興趣的讀者繼續(xù)研究！

[1]邢友寶．極值偏移問(wèn)題的處理策略[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014,7：19-22.

[2]王曉．對(duì)極值偏移問(wèn)題的再探究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014,12：32-36.

[3]賴淑明．從對(duì)數(shù)平均談極值偏移問(wèn)題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州)，2015,4：31-32.

[4]賴淑明．極值偏移問(wèn)題問(wèn)題的另一本質(zhì)回歸[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015,4：49-51.

[5]張同語(yǔ)．函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一個(gè)解題策略[J]．中學(xué)生理科應(yīng)試，2015,5：13-14.

[6]王歷權(quán)，黨忠良．也談?wù)剺O值點(diǎn)偏移問(wèn)題[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2016,4：12-14.

[7]汪正文．函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的求解策略與研究[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016,10：49-51.

[8]蘇藝偉．函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一種求解策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2016,10：53-55.

[9]李瑤，張紅．關(guān)于函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的思考—從一道高考?jí)狠S題出發(fā)[J]．上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2016,11：32-34.

[10]楊柳忠．利用構(gòu)造法解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2017,1：44-46.

[11]馬躍進(jìn)．函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州)，2017,3：封面-2.

四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目(ZY16001).劉成龍系本文通訊作者.