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數學解題,不妨“無中生有”

2017-11-01 17:25:24郭建華
中學數學研究(江西) 2017年10期
關鍵詞:解題數學方法

郭建華

江蘇省南京市教育科學研究所 (210001) 劉權華江蘇省南京市第二十九中學 (210036)

數學解題,不妨“無中生有”

郭建華

江蘇省南京市教育科學研究所 (210001) 劉權華江蘇省南京市第二十九中學 (210036)

如果把解題比作打仗,那么解題者的“兵力”就是數學基礎知識,解題者的“兵器”就是數學基本思想方法,而調動數學基礎知識、運用數學基本思想方法的數學解題策略就是“兵法”.“無中生有”是三十六計中第七種計策.其意思就是制造假相欺騙敵人,但又不是弄假到底,而是巧妙地由假變真,由虛變實,以假相掩蓋真相,造成敵人的錯覺.無中生有,這個“無”指的就是“假”,是“虛”.這個“有”指的是“真”,是“實”.無中生有就是真真假假,虛虛實實,真中有假,假中有真,虛實互變.

在數學解題中,有時看似“無”,其實是“有”,關鍵是要有一雙“慧眼”.它對我數學解題的啟示是:在解決某些問題時,要根據該問題的背景、結構特征,通過觀察、比較、聯想,恰當地構造出某個數學模型.所謂構造法,就是根據題設條件和結論的特殊性,構造出一些新的數學形式,并借助它認識與解決原問題的一種思想方法.應用好構造思想解題的關鍵有二:一是要有明確的方向,即為什么目的而構造;二是弄清條件的本質特點和背景,以便重新進行邏輯組合.它的特點是:創造性使用已知條件,創造性地應用數學知識、數學模型等.下面結合例題,談談此法在數學解題中的運用.

1.充分地挖掘條件

分析:此題若是將其中的一個變量借助等式用另一個變量表示,再行運算,未嘗不可,但是難度可想而知,若是充分地使用條件中的“1”,再利用書寫規則(當一個式的系數是1或-1時,“1”通常省略不寫)“無中生有”,立即就“柳暗花明”.

點評:但若是仔細觀察,便會發現左邊兩個式子的分母有以下的關系,x+(1-x)=1,就可以使用無中生“1”的方法簡便地予以證明了.本題中看似“無”,其實是“有”.關鍵是要充分的利用條件,挖掘條件,生出這個“有”來.

2.必要地巧用規則

(2)sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α-sin2α=2sinαcosα+cos2α

點評:在推導sin2α,cos2α和tan2α中用tanα表示的萬能公式時,皆可以運用此法,效果確是恰到好處.

3.深刻地借用定義

兩組治療前血液流變學指標比較,差異無統計學意義(P>0.05),治療后,觀察組血沉、纖維蛋白原、紅細胞壓積、全血黏度、血漿黏度分別為(12.08±1.79)mm/h、(3.19±0.33)g/L、(0.43±0.05)L/L、(4.65±0.37)、(1.61±0.19),均低于對照組,差異有統計學意義(P<0.05),見表1。

點評:此題,關鍵之處是對向量根據定義,巧妙拆分,無中生“A”,使得問題迅速解決.在定比分點的向量表示中,此法極為常用.此法就是利用充分向量減法的定義.此題中,由于AB=AC,故也可以由圖,無中生“系”,通過建立直角坐標系,轉化為對應的坐標,再用“代數法”求解,也很簡單.

4.創造地利用模型

例4 6位身高不同的同學排成兩排三列,若每列后面的同學均比他前面的同學高,則不同的排法有多少種?

點評:概率論是研究隨機現象的一門數學分支,它既有獨特的概念和方法,又與其它科學分支有著密切的聯系,因此在解答有關數學問題時,如能根據題設條件構建概率模型,可使這些數學問題簡潔巧妙地解決.

5.巧妙地使用規定

例5 4個0怎樣能算出24?

解析:在階乘(n!=1×2×3×…(n-1)×n,0!=1)的教學中,筆者帶領同學們做游戲——算24點,“算24點”就是給一組數,通過一些數學運算(加、減、乘、除、乘方、括號),使其結果等于24,每個數字都要用上,并且只能用一遍.比如給一組數2,3,4,6.一般有這樣幾種算法.法1:2×6+3×4=24;法2:(3-2)×4×6=24;法3:(6-3)×2×4=24.等.運算的范圍一般在有理數范圍內,最常見的方法就是構造24的因數3,8,4,6,2,12.

通過簡單幾個題目在他們小有成就而沾沾自喜的時候,我出了一道題:4個0怎樣能算出24?足夠的時間,激烈的討論,學生們可謂絞盡腦汁,最后筆者給出了答案:(0!+0!+0!+0!)!=24,學生紛紛嘆為觀止,接著筆者點撥到:這就是“無中生有”,學生一下子群情激昂,雷鳴般的掌聲經久不息,學習數學的情緒一下子就被調動起來.這似乎上升到“文化”的境界,這是我們多么渴望追求的一種高境界啊!然而,第二天一大早,有一個學生跑到筆者的辦公室,急不可耐地告訴筆者,“老師,老師,我又有一種辦法,“00∶00”就是24點呀……”內容如此的切合,學生如此的執著,一切都是那樣的妙不可言.這樣的故事,學生一生可能也難以忘懷.這樣的過程似乎上升到一種更高的只可意會的境界.

6.巧妙地使用方程

例6 在平面直角坐標系xOy中,已知圓O1,圓O2均與x軸相切且圓心O1,O2與原點O共線,O1,O2兩點的橫坐標之積為6,設圓O1與圓O2相交于P,Q兩點,直線l:2x-y-8=0,則點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值為_________.

點評:根據已知條件與所求式子的特征,探尋問題的結構特征和數量關系,挖掘潛在已知與未知因素,從而聯想有關的方程(或方程組),利用方程理論求解,使問題在新的關系下轉化,將陌生問題熟悉化,復雜問題簡單化.

“無中生有”中的“有”,可以是數,可以是點,可以是圖形,可以是坐標系,還可以是模型.這種方法,其實就是我們常說的“構造法”中的一種,構造法解題是一種創造性地思維過程,具有較大的靈活性和技巧性.在運用過程中,我們要仔細分析題目的結構特點,善于聯想,應有目的,有意識地進行構造,始終“盯住”要“求”的目標.通過構造特殊數字、特殊規定(如0!=1)、特殊模型等將“未知軌道”中的問題轉化為“常見可解的軌道”上來.

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