數(shù)學(xué)解題，不妨“無中生有”

郭建華

江蘇省南京市教育科學(xué)研究所 (210001) 劉權(quán)華江蘇省南京市第二十九中學(xué) (210036)

數(shù)學(xué)解題，不妨“無中生有”

郭建華

江蘇省南京市教育科學(xué)研究所 (210001) 劉權(quán)華江蘇省南京市第二十九中學(xué) (210036)

如果把解題比作打仗，那么解題者的“兵力”就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，解題者的“兵器”就是數(shù)學(xué)基本思想方法，而調(diào)動數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想方法的數(shù)學(xué)解題策略就是“兵法”.“無中生有”是三十六計(jì)中第七種計(jì)策.其意思就是制造假相欺騙敵人，但又不是弄假到底，而是巧妙地由假變真，由虛變實(shí)，以假相掩蓋真相，造成敵人的錯覺.無中生有，這個“無”指的就是“假”，是“虛”.這個“有”指的是“真”，是“實(shí)”.無中生有就是真真假假，虛虛實(shí)實(shí)，真中有假，假中有真，虛實(shí)互變.

在數(shù)學(xué)解題中，有時看似“無”，其實(shí)是“有”，關(guān)鍵是要有一雙“慧眼”.它對我數(shù)學(xué)解題的啟示是：在解決某些問題時，要根據(jù)該問題的背景、結(jié)構(gòu)特征，通過觀察、比較、聯(lián)想，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出某個數(shù)學(xué)模型.所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式，并借助它認(rèn)識與解決原問題的一種思想方法．應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵有二：一是要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)和背景，以便重新進(jìn)行邏輯組合．它的特點(diǎn)是：創(chuàng)造性使用已知條件，創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)模型等.下面結(jié)合例題，談?wù)劥朔ㄔ跀?shù)學(xué)解題中的運(yùn)用.

1.充分地挖掘條件

分析:此題若是將其中的一個變量借助等式用另一個變量表示，再行運(yùn)算，未嘗不可，但是難度可想而知，若是充分地使用條件中的“1”，再利用書寫規(guī)則(當(dāng)一個式的系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫)“無中生有”，立即就“柳暗花明”.

點(diǎn)評:但若是仔細(xì)觀察，便會發(fā)現(xiàn)左邊兩個式子的分母有以下的關(guān)系，x+(1-x)=1，就可以使用無中生“1”的方法簡便地予以證明了.本題中看似“無”，其實(shí)是“有”.關(guān)鍵是要充分的利用條件，挖掘條件，生出這個“有”來.

2.必要地巧用規(guī)則

(2)sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α-sin2α=2sinαcosα+cos2α

點(diǎn)評:在推導(dǎo)sin2α，cos2α和tan2α中用tanα表示的萬能公式時，皆可以運(yùn)用此法，效果確是恰到好處.

3.深刻地借用定義

兩組治療前血液流變學(xué)指標(biāo)比較，差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05），治療后，觀察組血沉、纖維蛋白原、紅細(xì)胞壓積、全血黏度、血漿黏度分別為（12.08±1.79）mm/h、（3.19±0.33）g/L、（0.43±0.05）L/L、（4.65±0.37）、（1.61±0.19），均低于對照組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05），見表1。

點(diǎn)評:此題，關(guān)鍵之處是對向量根據(jù)定義，巧妙拆分，無中生“A”，使得問題迅速解決.在定比分點(diǎn)的向量表示中，此法極為常用.此法就是利用充分向量減法的定義.此題中，由于AB=AC,故也可以由圖，無中生“系”，通過建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的坐標(biāo)，再用“代數(shù)法”求解，也很簡單.

4.創(chuàng)造地利用模型

例4 6位身高不同的同學(xué)排成兩排三列，若每列后面的同學(xué)均比他前面的同學(xué)高，則不同的排法有多少種？

點(diǎn)評:概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門數(shù)學(xué)分支，它既有獨(dú)特的概念和方法，又與其它科學(xué)分支有著密切的聯(lián)系，因此在解答有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，如能根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建概率模型，可使這些數(shù)學(xué)問題簡潔巧妙地解決.

5.巧妙地使用規(guī)定

例5 4個0怎樣能算出24？

解析:在階乘(n!=1×2×3×…(n-1)×n，0!=1)的教學(xué)中，筆者帶領(lǐng)同學(xué)們做游戲——算24點(diǎn)，“算24點(diǎn)”就是給一組數(shù)，通過一些數(shù)學(xué)運(yùn)算(加、減、乘、除、乘方、括號)，使其結(jié)果等于24，每個數(shù)字都要用上，并且只能用一遍.比如給一組數(shù)2,3,4,6.一般有這樣幾種算法.法1：2×6+3×4=24；法2：(3-2)×4×6=24；法3：(6-3)×2×4=24.等.運(yùn)算的范圍一般在有理數(shù)范圍內(nèi)，最常見的方法就是構(gòu)造24的因數(shù)3,8,4,6,2,12.

通過簡單幾個題目在他們小有成就而沾沾自喜的時候，我出了一道題：4個0怎樣能算出24？足夠的時間，激烈的討論，學(xué)生們可謂絞盡腦汁，最后筆者給出了答案：(0！+0！+0！+0！)！=24，學(xué)生紛紛嘆為觀止，接著筆者點(diǎn)撥到：這就是“無中生有”，學(xué)生一下子群情激昂，雷鳴般的掌聲經(jīng)久不息，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情緒一下子就被調(diào)動起來.這似乎上升到“文化”的境界，這是我們多么渴望追求的一種高境界??！然而，第二天一大早，有一個學(xué)生跑到筆者的辦公室，急不可耐地告訴筆者，“老師，老師，我又有一種辦法，“00∶00”就是24點(diǎn)呀……”內(nèi)容如此的切合，學(xué)生如此的執(zhí)著，一切都是那樣的妙不可言.這樣的故事，學(xué)生一生可能也難以忘懷.這樣的過程似乎上升到一種更高的只可意會的境界.

6.巧妙地使用方程

例6 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O1，圓O2均與x軸相切且圓心O1，O2與原點(diǎn)O共線，O1，O2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為6，設(shè)圓O1與圓O2相交于P，Q兩點(diǎn)，直線l：2x-y-8=0，則點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)M之間的距離的最小值為_________.

點(diǎn)評:根據(jù)已知條件與所求式子的特征，探尋問題的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量關(guān)系，挖掘潛在已知與未知因素，從而聯(lián)想有關(guān)的方程(或方程組)，利用方程理論求解，使問題在新的關(guān)系下轉(zhuǎn)化，將陌生問題熟悉化，復(fù)雜問題簡單化.

“無中生有”中的“有”，可以是數(shù)，可以是點(diǎn)，可以是圖形，可以是坐標(biāo)系，還可以是模型.這種方法，其實(shí)就是我們常說的“構(gòu)造法”中的一種，構(gòu)造法解題是一種創(chuàng)造性地思維過程，具有較大的靈活性和技巧性.在運(yùn)用過程中，我們要仔細(xì)分析題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，善于聯(lián)想，應(yīng)有目的，有意識地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要“求”的目標(biāo).通過構(gòu)造特殊數(shù)字、特殊規(guī)定(如0!=1)、特殊模型等將“未知軌道”中的問題轉(zhuǎn)化為“常見可解的軌道”上來.