一道圓錐曲線試題的背景揭示及推廣

楊蒼洲

福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 林志敏福建省泉州市第五中學(xué) (362000)

一道圓錐曲線試題的背景揭示及推廣

楊蒼洲

福建省泉州市第七中學(xué) (362000) 林志敏福建省泉州市第五中學(xué) (362000)

近年來，高考試題的命制往往具有深刻的高數(shù)背景，起點(diǎn)高落點(diǎn)低，試題設(shè)計(jì)來源于高等數(shù)學(xué)，但是用初等數(shù)學(xué)方法來解答，因此挖掘其背景，推廣其結(jié)論很有必要，一方面可以讓學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，另一方面可以把學(xué)生的思維引向深處.

圖1

(Ⅰ)求圓G的半徑r；

(Ⅱ)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：直線EF與圓G相切．

一、背景揭示

本題的第(Ⅱ)問是Chasles對(duì)應(yīng)原理的一個(gè)應(yīng)用：

圖2

不相切的兩條圓錐曲線K,K′，從K上一點(diǎn)P0作K′的一條切線，它和K的第二個(gè)交點(diǎn)P1.通過P1給出K′的第二條切線，它和K的第二個(gè)交點(diǎn)是P2.如此繼續(xù)，可以構(gòu)造出鏈P0,P1,P2,...,Pn.

則利用對(duì)應(yīng)原理有：當(dāng)鏈曾有一次在非平凡的意義下封閉Pn=P0，則不管P0在K上如何選取，鏈都封閉.(如圖2)

反映在本題的第(Ⅱ)問，若某個(gè)橢圓內(nèi)接三角形如ΔABC的內(nèi)切圓，則必為該橢圓任一內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓.這里的橢圓和圓可以推廣為任意兩個(gè)圓錐曲線，基于難度的控制，一般限制第二條圓錐曲線K′為圓.

二、初數(shù)證明

(Ⅱ)過橢圓E上任一點(diǎn)P作圓T的兩條切線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，則直線MN與圓T相切.

(Ⅱ)設(shè)P(acosθ,bsinθ),M(acosα,bsinα),

N(acosβ,bsinβ)(其中θ,α,β∈[0,2π)).

直線PM的方程為(x-acosθ)(bsinθ-bsinα)-(y-bsinθ)(acosθ-acosα)=0?(bsinθ-bsinα)x-(acosθ-acosα)y-ab(sinθcosα-

因?yàn)橹本€PM與圓T相切，得

同理可得(acosθ-rcosθ-t)(acosβ)+

圓心T到直線MN的距離：

故直線MN與圓T相切，結(jié)論成立.

三、結(jié)論推廣

(Ⅱ)過雙曲線E上任一點(diǎn)P作圓T的兩條切線交雙曲線于M,N兩點(diǎn)，則直線MN與圓T相切.

定理3 若圓T：(x-t)2+y2=r2是拋物線E：y2=2px(p>0)的內(nèi)接ΔABC的內(nèi)切圓，其中A為拋物線的頂點(diǎn)，則有

(Ⅰ)r2=2p(t-r)；

(Ⅱ)過拋物線E上任一點(diǎn)P作圓T的兩條切線交拋物線E于M,N兩點(diǎn)，則直線MN與圓T相切.

以上兩個(gè)定理2、3的證明，可以參考定理1的方法，留給讀者自行完成.

四、變式應(yīng)用

圖3

變式1 如圖3，已知圓C:x2+(y-b)2=R2是拋物線

(Ⅰ)建立b與R滿足的關(guān)系式；

(Ⅱ)證明：過拋物線上的任意一點(diǎn)P(x0,y0),|x0|≠R，都可作拋物線的內(nèi)接ΔPEF，使得圓C為其內(nèi)切圓．

[1]彭世金.對(duì)江西卷文科第22題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2009(11)：37-38.

[2][荷]B.L.范德瓦爾登著，李培廉、李喬譯[M].代數(shù)幾何引論，北京：科學(xué)出版社,2008.