巧用“輪換式”求多元式的最值方法初探

石海峰

江蘇省江陰市青陽中學(xué) (214401)

巧用“輪換式”求多元式的最值方法初探

石海峰

江蘇省江陰市青陽中學(xué) (214401)

多元式的最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題.江蘇高考中多以填空題形式出現(xiàn)，而且往往出現(xiàn)在填空題的后幾道，很多學(xué)生遇到這類題目時(shí)束手無策.筆者在本文中通過一些特殊的范例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到一類問題的簡(jiǎn)便方法，讓學(xué)生花少量的時(shí)間得到正確的答案.

筆者表揚(yáng)了這位學(xué)生善于觀察，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)對(duì)稱式，這樣解決本題的方法非常簡(jiǎn)單.何為對(duì)稱式呢？

如果把一個(gè)代數(shù)式中的字母對(duì)調(diào)，所得的代數(shù)式與原來的代數(shù)式相等，那么就說原來的代數(shù)式關(guān)于這些字母成對(duì)稱，把一個(gè)代數(shù)式里的字母按照某個(gè)順序排列，然后依次把第一個(gè)字母換成第二個(gè)字母，第二個(gè)字母換成第三個(gè)字母，… ，把最后一個(gè)字母換成第一個(gè)字母，即如果一個(gè)n元代數(shù)式f(x1,x2,x3,…,xn)，將字母x1,x2,x3,…,xn中x1換成x2，x2換成x3，…，xn換成x1，即f(x1,x2,x3,…,xn)=f(x2,x3,…,xn,x1)，那么稱這個(gè)代數(shù)式為n元輪換對(duì)稱式，簡(jiǎn)稱輪換式.如果某個(gè)代數(shù)式是輪換式，那么在求其最值時(shí)，“地位”相同的字母不可厚此薄彼，必然是相等的.如果這樣求多元表達(dá)式的最值問題，令“地位”相同的字母都相等，必然能達(dá)到“減元”的目的，使表達(dá)式簡(jiǎn)單易求最值：

一、“三元”減為“兩元”，轉(zhuǎn)化為熟悉問題

通過以上例題常規(guī)解法和利用“輪換式”求最值發(fā)現(xiàn)，兩種方法求出的最值是相等的，而利用“輪換式”可以將原表達(dá)式中的“三元”減為“兩元”，轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的問題，將看似復(fù)雜的問題迎刃而解.

二、“兩元”減為“一元”，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題

三、“兩元”等式化為“一元”等式，即轉(zhuǎn)化為確定的值

這種利用“輪換式”求最值的方法，只是利用“地位相當(dāng)”的“量”在取最值時(shí)相等來簡(jiǎn)化計(jì)算過程，但這個(gè)結(jié)論證明比較困難，因此只能用于填空題中.在教學(xué)過程中，教師要引領(lǐng)學(xué)生善于觀察，靈活的運(yùn)用各種解題技巧，合理的找到快而準(zhǔn)的解題方法.