一個(gè)三角不等式的求解及推廣

史建軍

江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué) (212300)

一個(gè)三角不等式的求解及推廣

史建軍

江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué) (212300)

1.問題的提出及求解

由柯西不等式可知：

2.問題的變形

3.問題的推廣

“=”當(dāng)且僅當(dāng)圓內(nèi)接n邊形A1A2…An為正n邊形時(shí)成立.

圖1

證明：如圖1，設(shè)圓心為O，連結(jié)A1O,A2O,…,AO，設(shè)∠A1OA2=θ1,∠A2OA3=θ2,…,∠AnOA1=θn，則由余弦定理有

l21=R2+R2-2R·Rcosθ1，l22=R2+R2-2R·Rcosθ2，…，l2n=R2+R2-2R·Rcosθn.

引理任意四面體的各棱長(zhǎng)平方和不大于其外接球半徑平方的16倍，即：設(shè)四面體ABCD的6條棱長(zhǎng)分別為l1,l2,…,l6，外接球半徑為R，則l21+l22+…+l26≤16R2.“=”當(dāng)且僅當(dāng)四面體的重心和外心重合時(shí)成立.

證明：以四面體的外接球球心(外心)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則各棱長(zhǎng)平方和為