找聯(lián)系 抓本質(zhì) 結(jié)構(gòu)化

冷滿紅

怎樣讓學(xué)習(xí)像呼吸一樣自然？融合對于“教什么”和“怎么教”的討論，筆者嘗試從數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘出發(fā)，對“2、5、3的倍數(shù)的特征”進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，以求實現(xiàn)突破。

一、與余數(shù)的關(guān)系——開創(chuàng)教學(xué)新視角

關(guān)于倍數(shù)的定義，人教版教材的描述如下：“在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)。”從以上描述可得，有沒有余數(shù)，是判斷兩個數(shù)是否存在倍數(shù)關(guān)系的關(guān)鍵。判斷兩個數(shù)是否存在倍數(shù)關(guān)系的過程，實際上就是在整數(shù)除法中尋找余數(shù)的過程。據(jù)此，我們可以將2、5、3的倍數(shù)特征進(jìn)行重新解讀。

先來看看5的倍數(shù)判斷的過程。假設(shè)要判斷一個三位數(shù)abc是不是5的倍數(shù)，詳細(xì)過程應(yīng)是：a在百位上，代表的大小是（a×100），100是5的倍數(shù)，（a×100）也是5的倍數(shù)，即（a×100）除以5沒有余數(shù)。b在十位上，代表的大小是（b×10），10是5的倍數(shù)，（b×10）也是5的倍數(shù)，即（b×10）除以5也沒有余數(shù)。如此，產(chǎn)生余數(shù)的唯一可能來源就是個位。因此，只要看個位上的數(shù)除以5有沒有余數(shù)，就可以判斷這個數(shù)是不是5的倍數(shù)。以此類推，任意一個多位數(shù)，除以5有沒有余數(shù)，都取決于個位上的數(shù)。所以概括一下，判斷一個數(shù)是不是5的倍數(shù)，只需要看個位是不是5的倍數(shù)。2的倍數(shù)特征的數(shù)學(xué)本質(zhì)與5的倍數(shù)特征相同，不再贅述。

那么3的倍數(shù)特征呢？在一些課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生在理解3的倍數(shù)特征時這樣思考：同樣是三位數(shù)abc，1個百除以3，余數(shù)是1，所以a個百除以3，余數(shù)可以看成是a；1個十除以3，余數(shù)是1，所以b個十除以3，余數(shù)可以看成是b；1除以3，余數(shù)是1，所以c個1除以3，余數(shù)可以看成是c。這樣三位數(shù)abc除以3的余數(shù)就可以看成是（a+b+c），再用這個“余數(shù)”之和除以3，根據(jù)最后是否有余數(shù)，就可以判斷這個數(shù)是不是3的倍數(shù)了。這樣做，同樣是從尋找余數(shù)出發(fā)來判斷兩個數(shù)是否存在倍數(shù)關(guān)系的。

但是，需要指出的是，“a個百除以3，余數(shù)是a”，結(jié)論有些牽強(qiáng)附會。任何一個數(shù)除以3，在整數(shù)范圍內(nèi)，余數(shù)只能是1或者2。當(dāng)這里的a小于3時，“a個百除以3，余數(shù)是a”是符合規(guī)律的。但是當(dāng)a等于或大于3時，就有矛盾了。

從上面的分析可以看出，對于2、5、3的倍數(shù)特征的探索與理解，如果從尋找余數(shù)開始探究，無疑給學(xué)生留下了探索的空間。這樣的探索是從數(shù)學(xué)的內(nèi)涵出發(fā)，從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，這樣的探索基于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，經(jīng)歷這樣的探索，對于學(xué)生理解2、5、3的倍數(shù)特征有著重要的意義。

二、與位值的關(guān)系——探索教學(xué)新思路

在上面的分析中，2、5、3的倍數(shù)特征與位值有著密切的聯(lián)系。但是教材的“你知道嗎”中的介紹卻忽略了這一點。在教材的介紹中，雖然解釋了問題，解釋的過程卻因為數(shù)字的不同而呈現(xiàn)了不同的方法，顯得零碎化與特殊化。是否可以借助于位值，將方法統(tǒng)一化、簡單化呢？

對于一個任意的整數(shù)，除了個位的其他數(shù)位，因為對應(yīng)的位值都含有因數(shù)10，而10是5的倍數(shù)，所以判斷一個數(shù)是不是2、5的倍數(shù)，只需要看個位。3的倍數(shù)在結(jié)合位值制找余數(shù)的過程中，卻面臨著與3的倍數(shù)特征不一致的情況。前文所描述的解釋方法，可行卻不嚴(yán)謹(jǐn)。那么有沒有更好的教學(xué)思路？

我們將1～9在不同數(shù)位上的數(shù)值除以3的余數(shù)情況進(jìn)行列舉，可以得出同一個數(shù)字，無論在哪個數(shù)位上，它所代表的數(shù)值除以3后的余數(shù)都是相同的。并且，我們可以將各種情況進(jìn)行分類。

一類：數(shù)字是3的倍數(shù)，那么無論這個數(shù)字在哪個數(shù)位，它表示的數(shù)值除以3都沒有余數(shù)。這樣的數(shù)字有0、3、6、9。二類：數(shù)字比3的倍數(shù)多1。這樣的數(shù)字有1、4、7，這些數(shù)字無論在哪個數(shù)位，它表示的數(shù)值除以3后，余數(shù)都是1。三類：數(shù)字比3的倍數(shù)多2。這樣的數(shù)字有2、5、8。這些數(shù)字無論在哪個數(shù)位，它表示的數(shù)值除以3后，余數(shù)都是2。

如此一來，對于一個數(shù)，例如519，我們可以得知：數(shù)字5除以3對應(yīng)的余數(shù)是2，數(shù)字1對應(yīng)的余數(shù)是1，數(shù)字9對應(yīng)的是“沒有余數(shù)”。我們將這些余數(shù)相加：2+1=3，再繼續(xù)除以3，沒有余數(shù)，我們就可以判定519是3的倍數(shù)。

剛才的判斷過程，可以分為三個步驟：1. 對照數(shù)位找余數(shù)；2. 余數(shù)求和；3. 判斷：如果余數(shù)的和是3的倍數(shù)，則這個數(shù)就是3的倍數(shù)。應(yīng)用這樣的規(guī)律，可以判斷任何一個整數(shù)是不是3的倍數(shù)。

如此，這條規(guī)律與教材上呈現(xiàn)的3的倍數(shù)特征殊途同歸，操作上只是多了一個找余數(shù)的過程。如再通過以“使用方便”為導(dǎo)向的優(yōu)化，很容易與教材中的結(jié)論接軌。

綜上所述，對于2、5、3的倍數(shù)特征，我們可以根據(jù)位值按照數(shù)位來尋找余數(shù)，從而探索得到它們的倍數(shù)特征。學(xué)生經(jīng)歷這樣的探索過程，既明白了知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，又不會形成知識碎片，避免零碎化和特殊化的方法帶給學(xué)生學(xué)習(xí)上的障礙。

三、與結(jié)構(gòu)的關(guān)系——延展教學(xué)價值

如前所述的教學(xué)是否有更多的價值呢？我們需要將它放到更大的背景下來思考，將這種方法進(jìn)行遷移應(yīng)用，以追求更高的教學(xué)效益。

例如，對4的倍數(shù)特征的探究：因為100是4的倍數(shù)，那么對于一個數(shù)，判斷它是不是4的倍數(shù)，只需看后兩位（十位和個位）表示的數(shù)是不是4的倍數(shù)就可以了。因為100還是25的倍數(shù)，所以25的倍數(shù)特征也可以用同樣的方法來探究。

9的倍數(shù)特征亦是如此。不管哪一個數(shù)位上數(shù)字所代表的數(shù)，除以9后，余數(shù)都是對應(yīng)的數(shù)字（9本身除外）。最后只需將這些余數(shù)（也就是這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字）相加，再除以9就可以判斷這個數(shù)是不是9的倍數(shù)了。

由此，前面探索的2、5、3倍數(shù)特征的探究方法，可以推廣應(yīng)用到更多數(shù)的倍數(shù)特征的探究中去，從而讓教學(xué)更具價值。

（作者單位：安徽省太湖縣新城第二小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）endprint