算術平方根概念引入的教師傾向性調查研究

謝思成，謝圣英

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算術平方根概念引入的教師傾向性調查研究

謝思成，謝圣英

（湖南師范大學數學與計算機科學學院高性能計算與隨機信息處理省部共建教育部重點實驗室，湖南長沙 410081）

概念引入的成敗會直接影響整節課的教學效果，深入了解中學一線數學教師在概念教學中存在的問題與困惑，幫助教師和研究者深入思考教學實踐，提高教學效率．對110名數學教師進行算術平方根概念的5種引入方式調查與訪談，調查結果表明，一線教師對5種引入方式的傾向性存在著顯著的差異，他們認為復習情境結合方式最適合算術平方根概念教學的引入，而直接引入最不適合；對于情境引入方式，教師的態度呈兩極分化態勢，結合訪談研究發現部分教師沒有考慮情境創設的有效性，存在“惟情境是用”的現象．

數學概念；教學；算術平方根；概念引入；調查

1 問題提出

概念的引入是一節數學概念課的開端，俗話說“一個好的開始是成功的一半”，學生的數學理解過程中起關鍵作用的是數學概念的定義和例子的形成方法[1]．數學概念課的引入對于上好一節概念課來說至關重要，切入點選擇得好，會讓學生忘記學習數學時的恐懼心理，全身心的關注、參與數學的發生、發展過程，在愉悅的氛圍下獲得應有的知識，發展數學能力[2]．算術平方根概念屬于運算性概念中的程序性概念，程序性概念是指該概念的定義中給出了判斷概念本質屬性的運算程序[3]，有一定的抽象性，是新版人教版初中一年級下冊實數這一章節的起始課，掌握好算術平方根這一概念對于后續平方根、立方根、無理數等概念的學習起著至關重要的作用．

如何在學生現有認知結構與水平的基礎上順利過渡到該節課所學的內容，概念的引入是最關鍵一步．那么究竟教師更傾向于哪種引入方式呢？為什么會傾向于這種引入方式？研究者對一線中學教師進行了算術平方根概念引入的傾向性調查．

2 理論基礎

許多在職教師及學者對數學概念引入進行了研究，這些研究主要側重：第一，提出了成功引入數學概念的一些要求．譬如夏炎提出引入概念的4個要求：是否自然合理，既是前面知識的繼續，又是后續知識的開端，以一定的積累為基礎；能否引起學生的興趣，使他們聚精會神地投入進來，在情感上與教師和教材貼得更近；使學生初步了解這節課的教學任務，無論是在操作層面上，還是在思維層面上，做好迎接挑戰的準備；讓學生面臨一個似曾相識，已有一些感性認識、但理性認識欠缺的問題，形成一個欲罷不能的追求目標[4]．何豪明提出了新課引入教學設計案例的選擇應遵循6個原則：科學性、典型性、簡明性、教學性、思考性與時代性[5]．湯炳興認為應把學生帶入相關的問題情境中，在問題情境中展開“火熱的思考”，探究概念的本質特征[6]．第二，對數學概念引入的方式進行分類．進行此類研究的人員多為經驗豐富的中學教師，他們強調概念引入的重要性，通常根據多年積累的教學經驗，將概念引入的方式進行分類，并對該分類下的概念引入進行說明，闡釋其優劣．譬如，彭加明總結了概念的幾種引入方式：趣味引入、比較引入、問題追溯引入、相關知識復習引入、它科問題引入以及生活實例引入[7]．喬雪總結了中學數學課堂引入的4種基本類型：直觀型、問題型、新舊聯系型、趣味型，與數學課堂實例相結合，論述了4類概念引入方法的優勢[8]．這種類型的文章以“概念引入方法+課堂實例”為特色，能為教師的概念引入教學提供指導性意義．第三，對某個概念引入的課例進行分析．譬如，陳柏良基于奧蘇貝爾的有意義學習理論比較了對數函數的概念引入的兩則課例并總結了教學啟示[9]．李振雷對平面向量中幾個概念的教學引入進行了設計，提出了向量有關概念的教學引入要呈現出必要性、合理性、激勵性與知識系統的和諧性，使學生在主動地獲取知識的過程中體會、理解概念[10]．李進東從兩個數學歷史名題出發設計古典概型的引入，并提倡將數學史知識融入教學引入中[11]．

不難發現，數學概念引入方式的確類別多樣，雖然已有研究大多從理論角度通過不同教學案例分析各種引入方式的優劣，但是缺乏對實際教學中教師會如何選擇和運用各種概念引入方式開展實證研究，而且關于算術平方根概念引入的文章也相對缺乏．因此，將從此出發，期待通過調查教師對算術平方根概念引入方式的傾向，深入了解和分析數學教師在概念教學中存在的問題與困惑．

3 研究設計與實施

3.1 調查對象

采用便利抽樣的方法，調查110名初中一線數學教師，他們來自湖南、江蘇、浙江等13個省份．問卷發放110份，回收110份，其中有效問卷105份．調查對象的基本情況如表1所示．

表1 調查對象的基本情況

3.2 問卷的編制

問卷共有5道題，主要調查了初中數學教師對5種引入方式的排序情況及其原因闡述，并統計了教師的性別、教齡與所在學校等信息．最終問卷中，5種概念引入方式分別以序號命名，并打亂順序，以保證問卷的信效度．選擇這5種引入方式的主要理由是：其一，一線教師常用的引入方式基本涵蓋在其中；其二，根據現有教科書內容和文獻中優秀的算術平方根概念的教案設計改編而來；其三，5種引入方式本質上為3大類引入，直接引入開門見山地引出該節課所學概念；復習引入側重與學生已有的知識經驗相聯系；情境引入、復習引入與情境引入相結合與設問引入3種方式均屬于問題引申模式下的概念引入，其主要區別在于設問引入直接設疑，沒有創設情境，而情境引入、復習引入與情境引入相結合兩種方式的區別為情境創設的不同，不同引入的細微差別設計更有助于了解一線教師的PCK情況．5種引入方式如下：

直接引入

復習引入

師：同學們，我們在上一學期學習了乘方運算，我們先來復習一下乘方運算，請同學們來計算一組算式：

師：那么再請同學們計算另一組算式，括號中填正數：

這就是我們今天要學習的新概念“算術平方根”．

設問引入

師：一個長方形的面積為40平方厘米，長與寬之比為4:1，求長方形的長與寬．請同學們思考一下，怎樣求出長與寬呢？你能解決這個問題嗎？

教師通過設問讓學生發現用以前學過的知識不能解決這個問題，產生認知沖突，從而引入算術平方根的概念．

情境引入

學生思考后，師：解決該問題要用到平方根的概念．今天我們就學習第一課時：算數平方根．

復習引入與情境引入相結合

師：同學們，在我校舉行的以“我的中國夢”為主題的繪畫比賽中，晶晶同學準備了一些正方形作為繪畫的布[12]．

（1）根據下面正方形的邊長，你能迅速求出正方形的面積嗎？

正方形的邊長/dm130.6 正方形的面積/dm2

學生快速口答，與教師共同總結，將該生活中的問題轉化為數學問題：“已知正方形的邊長，求正方形的面積”，再轉化為乘方的運算問題“已知一個正數，求這個正數的二次冪”．

（2）根據下面正方形的面積，你能迅速求出正方形的邊長嗎？

正方形的面積/dm2190.36 正方形的邊長/dm

學生完成后，教師與學生共同總結，數學問題為：“已知正方形的面積，求正方形的邊長”，轉化為“已知一個正數的二次冪，求這個正數”．

3.3 研究過程

研究過程主要分為兩個部分，第一部分是問卷調查，第二部分是在回收調查問卷后，根據問卷的調查結果，抽取3名教師進行訪談．3位教師的教齡相近且均在5年以上，其他相關背景因素基本一致，如受教育程度與職稱等，由于3位教師對算術平方根概念引入的傾向性存在顯著性差異，所以選取這3名教師作為訪談對象具有一定的代表性，通過訪談可進一步了解教師對算術平方根概念引入的不同看法，從而深入挖掘一線教師在概念引入教學中存在的不足與困惑．3名受訪教師對5種算術平方根概念的傾向排序情況如表2．

表2 3名教師引入方式傾向性排序情況

注：為了敘述方便，“復習情境結合”即“復習與情境引入相結合”，下同

4 研究結果與分析

4.1 不同概念引入方式的教師整體傾向性情況

采用SPSS20.0進行問卷數據分析．問卷統計結果如表3與圖1所示．

表3 各引入方式教師排序人數情況

圖1 各引入方式教師排序情況

4.2 教師認為最適合與最不適合的引入

為了進一步了解教師對5種引入方式的傾向性差異，觀察表1的數據與圖1的圖象，發現情境引入與直接引入、直接引入與復習情境結合、復習引入與設問引入3組的圖象呈現了一定的規律和特征，故結合對教師的訪談對這3組引入的教師傾向性差異進行深入剖析．

4.3 情境引入與直接引入的傾向性差異

選擇情境引入與直接引入作為最不適合引入方式的教師人數最多，觀察兩種引入方式的人數分布線圖（圖2）：情境引入的圖象呈現出特別的字母V的形狀，即選擇將情境引入排在最適合與最不適合的教師人數均相對較多，呈現出兩級分化的態勢．那么，究竟是什么原因導致兩極分化的態勢產生呢？據此，對教師進行了訪談．C教師將情境引入排在最適合位置，認為：情境引入較新穎，能夠激發學生的學習積極性，在該引入中要計算出宇宙第一速度和宇宙第二速度，與科學接軌；由于計算的是宇宙第一、二速度，是從實際問題著手，來提出新的問題，揭示了數學的本質．與此相反，A教師則認為情境引入對于算術平方根概念的教學適合程度最低，她在實踐中有著不同的反思：這種引入材料雖然貼近生活，但是由于該階段的學生還未學這方面的物理知識，這就容易給學生帶來心理負擔及畏難情緒，從而不利于課堂教學的開展．如果情境引入中的情境屬于其它學科情境，就要考慮到學生是否學習過相關知識，以及情境是否適合算術平方根概念的教學．情景是為內容服務的，創設情景的一個目的是設計數學發現的過程，如果情景本身也很抽象、很深奧，不但不能幫助學生建立感性經驗和抽象概念的聯系，反而徒然增加“認知障礙”等[14]．值得肯定的是，部分中學數學教師（如A教師）不僅能夠認識到在數學課堂中創設情境的重要性，還能考慮到不同類型情境作用是有差異的[15]．

另外，根據圖2中直接引入的圖象變化及表3的數據，發現選擇直接引入作為最適合方式的教師人數最少，僅有4名教師，但選擇情境引入為最適合的教師人數為17人，在最適合的引入方式中排在第二位，遠多于直接引入．而且，將情境引入排第二位的教師人數也比直接引入多，因此可初步判斷教師多數情況下，認為在算術平方根概念的教學中，情境引入比直接引入更有吸引力．但與此同時，只有部分教師對具體情境的設置思考更多．

圖2 情境引入與直接引入對比

4.4 直接引入與復習情境結合的傾向性差異

觀察圖3，橫軸正方向表示對算術平方根概念教學適合程度逐漸降低，而選擇直接引入的教師人數越來越多，線段不斷上升．相反地，選擇復習情境結合的教師人數越來越少，線段不斷下降．僅有3.81%的教師將直接引入作為最佳選擇，但卻有34.29%的教師將其列為最不合適的引入方式，B教師是其中一位，他談到：“直接引入有其本身的優勢，其優點是直接明了，讓學生清晰地了解這節課所學的內容．但是對于算術平方根這一較抽象的概念而言，這種引入方式并不符合學生的認知特點，不能引起學生對新概念的學習興趣，直接生硬，缺乏必要的知識生成，無法聯系學生的已有知識，不重視概念的建構．在該引入方式下，學生只是一味地機械接受‘乏味’的數學概念，并不可取．”結合教師訪談及直接引入與復習情境結合的圖象對比，可知：多數教師認為直接引入不適合算術平方根概念的教學．

圖3 直接引入與復習情境結合對比

4.5 復習引入與設問引入的傾向性差異

復習引入與設問引入圖象的變化趨勢有些相似（見圖4），對于復習引入和設問引入，一線教師傾向于將這兩種方式排在中間的位置——復習引入的圖象呈現出字母N的形狀，而設問引入則呈現出字母M的形狀，體現二者之間存在細微的差異：將復習引入排在適合程度前三的教師人數均多于設問引入，而將復習引入排在第四、五位的人數均少于設問引入．這表明：相較于設問引入，初中數學教師更傾向于使用復習引入教學算術平方根概念．這里面有一定的原因，“用復習引入的方式引入新的概念，主要是找到新舊知識聯系的‘支點’，在算術平方根這節概念課中，先復習乘方運算，再與學生一起回顧逆運算，從而引出算術平方根的概念，這就是學生頭腦中新知識和舊知識的‘支點’．”通過B教師的解釋，可知復習引入具有“溫故而知新”的效果．復習引入算術平方根這一概念能夠考慮學生已有的學習經驗和認知水平，淡化學生對新知識的陌生感，能幫助學生將新材料與原有認知結構發生實質性聯系[16]，有助于學生的有意義學習和概念建構．同時，B教師將設問引入排在第二位，他認為：該引入方式的優點是創設學生的認知矛盾，喚起學生的好奇心和求知欲，以激起學生解決問題的愿望來導入新課，在懸念中能夠巧妙地提出學習任務．問題解決過程需要新的內容因而產生新的概念，順理成章．但C教師持不同的看法：在算術平方根這一概念中，由于算術平方根的概念對于初一學生來說相對抽象，用設問來引入可能會讓學生覺得無從下手，也就會無趣可激．總而言之，教師多數能認識到復習引入和設問引入的各自優點，對兩種引入的傾向程度適中，復習引入相較于設問引入更受教師青睞．

圖4 復習引入與設問引入的對比

5 結論與建議

5.1 結論

對于算術平方根概念的引入來說，一線數學教師更青睞復習與情境相結合的方式，而多數認為直接引入的方式不適合算術平方根概念的教學；教師對復習引入和設問引入的傾向程度適中；分析情境引入的結果，可知多數教師能夠認識到數學課堂中創設情境的重要性，而部分教師沒有思考具體情境的設置是否適合，這也是該引入方式使一線教師的傾向呈現出兩級分化態勢的重要原因．

5.2 建議

5.2.1 從概念本質出發

概念的本質屬性是指一個特定數學對象，在一定的范圍內保持不變的性質，而可變的性質則是“非本質屬性”[17]，算術平方根概念的本質是“求正數乘方的逆運算問題”．從調查結果來看，由于算術平方根概念的抽象性，立足概念本質的復習情境結合的引入方式更受一線教師青睞；同時多數教師認為直接引入不適合算術平方根的教學，但在教學當中，還有許多陳述性概念適合開門見山、直接引入的方式，因此，教師在設計概念引入方式時，要立足概念本質．

5.2.2 杜絕“偽情境”與“惟情境”

數學教學情境創設的效能主要是引趣、激疑和誘思[18-21]，特別是新課程改革背景之下，強調培養學生的探究能力，因此許多一線教師傾向于在課堂中創設情境引入概念，但是部分教師沒有仔細思考具體情境的設置是否適合，一不小心就陷入了“偽情境”、“惟情境是用”的種種錯誤的教學認知和行為當中．因此，初中數學教師在教學實踐中應考慮良好情境所具備的條件，杜絕“偽情境”、“惟情境”，提高教學效率．

5.2.3 立足學生現有水平

美國數學教育學家杜賓斯基認為：“學生學習數學概念需要進行心理構建，只有在自身已有知識、經驗的基礎上，主動建構新知識的意義，才能達成理解．”對于初一學生而言，尚處于具體運算階段與形式運算階段的過渡期，建構抽象概念的能力還不強，所以教師應充分考慮到學生的認知階段特點，在概念引入與創設情境時注意應與學生的生活實際接軌．此外，學生的數學學業成就水平的差異也是不可忽視的因素，同一種引入方式，面對不同程度的學生也會有不同的教學效果，不同學生的“趣點”也是不一樣的．

概念的引入是學生已有的學習經驗、認知結構以及認知水平與新授知識的橋梁，因此，教師在教學的過程中可以綜合考慮新舊概念的聯系，新概念的本質特征，學生的生活經驗等多種因素選擇一種恰當的引入方式．譬如在教學無理數時可以應用數學史知識引入，在教學相似三角形時可以使用類比導入的方式與全等三角形進行類比，幫助學生自主生成新概念，理解新概念，這樣就可以達到概念教學的最佳目標．

6 展望

這里僅對引入方式的教師傾向性進行調查研究，發現教師對數學概念引入方式的一些具體的看法和理解，希望“小中見大”、“拋磚引玉”，幫助教師和研究者深入思考教學實踐，提高教學效率，但不能完全預測整堂課的教學效果．在分析調查結果的過程中，還有許多與此相關的問題值得深思，譬如：初中數學教師關于情境引入的傾向兩級分化明顯是否與教師的教齡有關？新手型教師與經驗型教師對于概念情境引入方式的傾向存在差異嗎？數學教師關于概念引入的傾向性與教師的數學知識水平和教學觀的關系如何？后續研究將圍繞這些方面展開．

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Research on the Questionnaire of the Tendency of Introducing the Concept of Arithmetic Square Root in Middle School Teachers

XIE Si-cheng, XIE Sheng-ying

(Key Laboratory of High Performance Computing and Stochastic Information Processing (HPCSIP) (Ministry of Education of China), College of Mathematics and Computing Science, Hunan Normal University, Hunan Changsha 410081, China)

The introduction of the concept affected the effect of the whole class directly, in order to understand the mathematics teachers in-service in the concept of teaching problems and confusion, helped teachers and researchers to think about teaching practice deeply and improve teaching efficiency, the five ways of introducing the square root of arithmetic were investigated and interviewed by 110 mathematics teachers in middle schools. The survey results showed that there are significant differences among the teachers in the orientation of the five introduction methods. The most suitable for the square root concept teaching was combining reviewing with context, the most unsuited way was direct introduction. For the introduction of the context, the teacher’s attitude was polarization trend, combined with interviews we founded that some teachers didn’t consider the effectiveness of the context, and there was a “context only” phenomenon.

mathematical concept; teaching; arithmetic square root; concept introduction; questionnaire

[責任編校：周學智]

G451.2

A

1004–9894（2017）05–0012–05

謝思成，謝圣英．算術平方根概念引入的教師傾向性調查研究[J]．數學教育學報，2017，26（5）：12-16．

2017–09–13

2014年度湖南省哲學社會科學青年基金項目——中學數學教師認識信念系統及其發展研究（14YBA280）；湖南省重點學科建設項目資助

謝思成（1996—），女，湖南祁陽人，碩士，主要從事中小學數學學習與教學研究．