在“電磁場理論”教學中的COMSOL 有限元軟件的應用研究

王曉華

(1.鹽城師范學院新能源與電子工程學院，江蘇 鹽城 224007； 2.南京航空航天大學理學院，南京 211106)

在“電磁場理論”教學中的COMSOL有限元軟件的應用研究

王曉華1,2

(1.鹽城師范學院新能源與電子工程學院，江蘇 鹽城 224007； 2.南京航空航天大學理學院，南京 211106)

針對“電磁場理論”課程教學中的特點和問題，本文將COMSOL有限元軟件引入該門課程的教學中，并以Pendry提出的坐標變換的圓柱形電磁隱身斗篷設計為例，介紹了其理論模型的公式推導和如何使用該軟件實現圓柱形斗篷的電磁隱身，從而激發學生的學習熱情，達到提高這門課程教學效果的目的。

電磁場；COMSOL有限元軟件；電磁波；仿真

2010年，教育部高等學校電子信息科學工作者與工程類專業教學指導分委員會為電子信息工程(電子信息科學與技術)和通信工程兩個專業提出了本科指導性規范，明確指出“電磁場理論”是這兩個相關專業的一門重要的基礎核心課程[1]。該課程由于概念抽象、理論性強和涉及知識點多等特點，并且很多學生專業基礎知識較差、自主學習意識不強、抽象和邏輯思維能力欠缺，再加上該課程課時的縮減，多方面因素造成該門課程是教師難教和學生難學的課程[2]。如何提高這門課程的教學效果，已成為急需解決的問題。目前，學生計算機普及率高，對可視化與動態的軟件較感興趣。本文針對“電磁場理論”教學中存在的問題，利用學生對計算機的興趣，引入一款電磁仿真軟件——COMSOL Multiphysics在該門課程的教學中，讓學生理解繁雜的公式推導過程，并可在計算機上實現可視化與動態的形象仿真效果，體會學習這門課程的用途，激發學生的學習熱情，達到提高這門課程教學效果的目的。

1 COMSOL有限元軟件介紹

COMSOL Multiphysics (簡稱COMSOL) 是基于有限元方法的原理而演繹出的一款多物理場的數值仿真軟件[3]，它實際上是從matlab下的一個偏微分工具箱發展而來，現可在一個模型下建立多個物理場耦合來計算。在COMSOL軟件電磁仿真模擬過程中，首先要選擇研究的空間維度，然后根據研究的問題增加相應的物理場，并選擇相應的求解類型，最后點擊完成。這樣就表示已完成問題的分析，建立了一個新的COMSOL軟件的文件，然后根據其模型構建器按照從上至下的順序設置各個節點的參數，完成設置后就可以運行COMSOL軟件進行計算。下面介紹下COMSOL軟件模型構建器的各個節點設置情況：

A.定義節點：分為全局定義和模型定義，在全局定義中設置的參數、變量和函數等物理量對整個文件都有效，而在局部定義中設置的這些物理量只能對這個模型有效。

B.幾何節點：COMSOL軟件不僅提供了強大的圖形繪畫工具，還可以導入如AutoCAD等專業繪圖軟件創立的幾何圖形，這樣就可以對任何復雜的幾何圖形進行數值仿真計算。

C.材料節點：COMSOL軟件不僅提供了許多預設的材料屬性，還可以由研究人員自己定義材料參數，如：介電常數、磁導率、電導率和折射率等。這樣研究人員就可以向研究的區域填充任意介質，介質可以是色散或耗散，也可以是各向異性和非均勻的。

D.物理場節點：運用COMSOL軟件進行電磁仿真，主要就是用到該軟件射頻模塊的兩組電磁波方程。在物理場節點中，可以在邊界設置激勵源，并根據研究問題設置相應的邊界條件，另還需設置物理場的初始值。

E.網格剖分：需要把連續區域通過網格剖分進行離散化成各個子域。正常情況下，二維圖形用自由三角形剖分網格，三維用自由四面體剖分網格。

F.求解器：選擇相應的求解器類型，設置其參數，該軟件還可以設置掃描化參數，通過軟件自身的傅里葉變換，自動地實現頻域的分析轉化為時域的分析。

G.后處理：COMSOL軟件有非常強大的后處理功能，提供了豐富和可視化的后處理工具，有一維、二維和三維，可以根據需要畫出相應的曲線與三維彩圖，而且軟件還可以對某些參數的動態變化過程生成動畫文件。除此之外，可以將軟件計算的數據導出來，用其他專業繪圖軟件再進一步處理。

2 COMSOL有限元軟件電磁仿真實例

“電磁場理論”主要是研究電磁場中各物理量之間的關系(尤其是源與場的關系)及其空間分布和時間變化的理論，其核心內容就是Maxwell方程組。學生尚能理解均勻平面波在各向同性媒質中電磁波的傳播規律，而其在各向異性媒質中電磁波的傳播規律時，由于其數學上涉及張量，公式推導異常繁雜，加上各向異性媒質的實驗較難實現，完全是抽象與想象，學生難以理解。下面基于變換光學的COMSOL有限元軟件電磁隱身案例，讓學生理解其抽象的推導過程，直觀地展現均勻平面波在各向異性媒質中電磁波的傳播規律。

2.1 理論模型

2006年，Pendry和Leonhardt幾乎同時提出變換光學的電磁隱身理論[4-6]。下面以Pendry提出的坐標變換的圓柱形電磁隱身斗篷的設計為例：設想在圖1(a)原坐標空間R2內有一坐標原點O，如果把這個原點擴大成圖1(b)中半徑為R1的一個區域時，為了實現電磁等效，則邊界R1的特性必須要和原先的點O的特性一樣。這樣圖1(a)中圓圈內的整個空間將會被壓縮為圖1(b)中的R1

圖1 (a)原坐標空間；(b)變換坐標空間Fig.1 (a) the original coordinate space; (b)the transformed coordinate space

設R1=a,R2=b,r′=k1r+k2,θ′=θ,z′=z，(式中k1=(b-a)/b,k2=a)，其中(r′,θ′,z′)為變換坐標空間中的一點，(r,θ,z)為原坐標空間中的一點，在直角坐標系下，則：

(1)

根據文獻[4-6]，上述坐標變換的雅可比矩陣Λ，為:

(2)

根據文獻[4-6]，可以得到變換坐標空間的介電常數和磁導率為：

(3)

(4)

式中，ΛT表示雅可比矩陣Λ的轉置矩陣，det(Λ)為Λ的行列式值，ε和μ為原坐標空間內的介電常數和磁導率。發現變換坐標空間的介電常數ε＇和磁導率μ＇為張量，都是各向異性的。

2.2 COMSOL有限元軟件電磁仿真

對上文的理論模型用COMSOL有限元軟件進行電磁平面波(TE模式)仿真，此實例中參數：原坐標空間中的介電常數與磁導率都取1、內圓半徑為1 m、外圓半徑為2 m，在射頻模塊(RF)下，上下兩個邊界使用完全匹配層(PML)，左端口采取Port邊界激勵，入射頻率f= 0.3 GHz。圖2為平面波(TE模式)有無圓柱形隱身斗篷的電場散射情況，其中，圖2(a)為平面波(TE模式)沿水平方向無斗篷入射的電場散射圖樣，發現小圓圈后有很強的電場散射，說明小圓圈不能實現電磁隱身；圖2(b)平面波(TE模式)沿水平方向有斗篷入射的電場散射圖樣，發現電磁波在斗篷(斗篷里的媒質就是式(3)與(4)的各向異性媒質)中發生彎曲，平滑地繞過小圓圈，使得在小圓圈內的物體能得到很好隱身，這樣就實現了基于變換光學的COMSOL有限元軟件電磁隱身。

圖2 (a)無斗篷入射的平面波電場散射圖樣；(b)有斗篷入射的平面波電場散射圖樣Fig.2 (a) plane wave electric field scattering pattern with no cloak incident; (b) plane wave electric field scattering pattern with cloak

3 結語

本文針對在“電磁場理論”教學中存在的問題：學生專業基礎知識較差、自主學習意識不強、抽象和邏輯思維能力欠缺，再加上該課程課時縮減等，利用學生對計算機的興趣，把COMSOL有限元軟件引入該門課程的教學中，介紹了該軟件的使用步驟，并以Pendry提出的坐標變換的圓柱形電磁隱身斗篷的設計為例，進一步介紹了理論模型的公式推導和如何使用該軟件實現圓柱形斗篷的電磁隱身。不僅簡化了公式的推導，而且可在計算機上實現可視化與動態的形象仿真效果，從而促進學生對繁雜公式推導過程的了解和加強學生對電磁場理論抽象概念的理解，體會學習這門課程的用途，激發學生的學習熱情，達到提高這門課程教學效果的目的。

[1] 教育部高等學校電子信息科學與工程類專業教學指導分委員會.高等學校電子信息科學與工程類本科指導性專業規范(試行)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 田雨波，張貞凱，李峰.《電磁場理論》教學的體會與思考[J]. 武漢大學學報(理學版)，2012，(s2):127-129.

[3] 金建銘.電磁場有限元方法[M].西安：西安電子科技大學出版社，1998.

[4] Pendry J B，Schurig D，Smith D R. Controlling electromagnetic fields[J]. Science，2006，312(5781)：1780-1782.

[5] Leonhardt U. Optical conformal mapping[J]. Science，2006，312(5781)：1777-1780.

[6] Schurig D，Pendry J B，Smith D R. Calculation of material properties and ray tracing in transformation media[J]. Optics Express，2006，14(21)：9794-9804.

ResearchontheapplicationofCOMSOLfiniteelementsoftwareintheteachingofelectromagneticfieldtheory

WANG Xiao-hua1,2

(1. College of New Energy and Electronics Engineering, Yancheng Normal University, Yancheng 224007, China; 2. College of Science, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China)

In view of the characteristics and problems of the teaching of electromagnetic field theory, this paper introduces COMSOL finite element software into the teaching of this course. In this paper, I choice the design of the cylindrical electromagnetic invisibility cloak as example, which is firstly proposed by Pendry based on the coordinate transformation. Then, this paper derives the formula of the cylindrical electromagnetic cloaking and how to realize this cloaking by using this finite element software COMSOL, so as to stimulate students’ learning enthusiasm and reach the purpose of improving the teaching effect of this course.

Electromagnetic field; COMSOL finite element software; Electromagnetic wave; Simulation

G642.1

A

1674-8646(2017)19-0079-03

2017-08-18

江蘇省研究生科研創新計劃基金“等離子層狀結構材料的電磁特性研究”(KYLX15_0316)；鹽城師范學院自然科學研究項目“亞波長層狀結構材料的電磁特性研究”(15YCKLY001)

王曉華(1979-)，男，博士，講師。