例談運動學圖像的妙用①*
2017-11-17 06:02:52何崇榮
物理通報 2017年12期
何崇榮
(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)
張 黎
(武漢市黃陂區第三中學 湖北 武漢 430317)
例談運動學圖像的妙用①*
何崇榮
(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)
張 黎
(武漢市黃陂區第三中學 湖北 武漢 430317)
舉例介紹利用圖像法巧妙解決一些比較復雜的運動學問題.
運動學 圖像 妙用
圖像法是解決物理問題常用的方法，它往往能直觀地反映物理規律.利用圖像法解題有時能將復雜問題簡單化，形成巧解.下面通過具體例子來談談運動學圖像的巧妙應用.
1 速率-時間圖像
【例1】如圖1所示，一個固定在水平面上的光滑物塊，其左側面是斜面AB，右側面是曲面AC,已知AB和AC的長度相等.兩個小球p和q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下滑，比較它們到達水平面的先后( )
A．q小球先到 B．p小球先到
C．兩小球同時到 D．無法確定
圖1 例1題圖
答案：A.
解析：小球p沿光滑斜面做勻加速直線運動，小球q沿光滑曲面下滑，沿曲面切線方向的加速度不斷減小.根據機械能守恒，兩小球到達水平面的速率相同.于是畫出兩者運動的速率-時間圖像如圖2所示，圖像直觀表明：tq
圖2 速率-時間圖像1
圖3 速率-時間圖像2
評析：要比較兩小球到達水平面的時間，可以考慮將兩者到達水平面的時間表示出來.但是小球q沿光滑曲面下滑，做一般的曲線運動，很難表示小球q到達水平面的時間.而利用速率-時間圖像，不用求兩者到達水平面的時間表達式，就能直觀反映兩者所用時間大小關系.
2 速度-時間圖像
【例2】(原創題)機車啟動往往有兩種方式：以恒定功率(即額定功率)啟動和以恒定的加速度啟動，設機車分別按這兩種方式從靜止啟動到獲得最大速度所用時間分別為t1，t2，行駛距離分別是s1，s2，則關于機車兩種啟動方式所用時間及行駛距離比較正確的是( )
A.t1>t2B.t1 C.s1 答案：B,C. 解析：如圖4所示，是機車啟動過程的速度-時間圖像.曲線OBC表示以恒定功率啟動，曲線OAD表示以恒定加速度啟動.設機車從靜止啟動,獲得的最大速度為vm，機車以恒定的加速度啟動，勻加速持續的時間為t0，此時機車的速度為v1m，機車的額定功率為Pm，曲線上A，B兩點對應的牽引力分別為FA，FB，兩點的加速度分別為aA，aB. 圖4 機車啟動的速度-時間圖像 在A點有 Pm=FAv1m 在B點有 Pm=FBv1m 于是FA=FB，根據牛頓第二定律得 aA=aB 所以曲線BC與曲線AD完全相同，所以t1 由于曲線BC與曲線AD完全相同，所以曲線BC與坐標軸圍成的面積和曲線AD與坐標軸圍成的面積相同.對于曲線OBC，設曲線上B點的切線與t軸相交于E點，則OA//BE，于是△BB′E?△AA′O，所以曲線OB與坐標軸圍成的面積小于直線OA與坐標軸圍成的面積.所以s1 評析：機車不管采用哪種方式啟動，運動過程中都有一階段做的是變加速直線運動，那么很難定量表示機車行駛時間和距離.但利用速度-時間圖像可直觀反映兩種啟動方式中所用時間的大小關系以及行駛距離間的大小關系. 【例3】在地面上以初速度2v0豎直上拋一物體A后，又以初速度v0在同一地點豎直上拋另一個物體B，若要使兩物體能在空中相遇，則兩物體拋出的時間間隔Δt必須滿足的條件是(不計空氣阻力)( ) 答案：C. 解法1：找出臨界情況 當時間間隔Δt較小時，會導致B已落地，A還在空中，所以最短時間間隔為B落地時，A也恰好落回原處相遇，因此 當時間間隔Δt較大時，會出現A已落地，B還沒有拋出，所以最長時間間隔為B拋出時，A也恰好落回原處相遇，因此 所以要使兩物體能在空中相遇，兩物體拋出的時間間隔Δt必須滿足 解法2：根據運動學知識列方程求解 設B拋出后經過時間t，兩者在空中相遇.則 然后根據xA=xB，B在空中運動的時間t滿足 解法3：利用位移-時間圖像求解 兩物體的位移-時間圖像，如圖5所示，兩條圖線的交點表示A,B相遇時刻，由圖可直觀看出兩物體拋出的時間間隔Δt必須滿足 圖5 位移-時間圖像 拓展：當兩物體拋出的時間間隔Δt必須滿足什么條件時，B在上升(或下降)階段與A相遇呢？ 圖像很直觀地顯示B剛好到達最高點時與A相遇這種臨界情況. 設B剛好到達最高點時與A相遇，根據xA=xB得 解得 于是當 時，B在下降階段與A相遇；當 時，B在上升階段與A相遇. 評析：第一種解法兩種臨界情況不是那么容易判斷出來;第二種解法利用運動學知識列方程計算比較麻煩;第三種利用位移-時間圖像求解就很直觀明了，借助圖像可以很容易理解兩種臨界情況，也能直觀顯示兩物體相遇具體情景. 【例4】(改編題)如圖6所示，把一重為G的物體,用水平推力F=kt(k為恒量,t為時間)壓在豎直的足夠高的平整墻上,從t=0開始,求物體運動的時間和最大速度. 解析：分析物體的運動情況，對物體，根據牛頓第二定律有 mg-μN=ma N=F=kt 所以 mg-μkt=ma 物體先做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度減為零時 之后正壓力N繼續增大，則摩擦力繼續增大，于是物體開始減速，減速階段加速度大小 所以第二階段物體做加速度逐漸增大的減速運動，當物體速度減為零時，物體靜止. 圖6 例4題圖 這兩個階段，物體的加速度關于t=t1對稱，如圖7所示，于是全過程物體的運動時間 由于物體加速度a與時間t滿足線性關系，于是a-t圖像與坐標軸圍成的面積很容易計算，從而求出物體的最大速度 Δv=Sa-t=vm-0 則 圖7 加速度-時間圖像 評析：由于物體做的是變加速直線運動，高中階段不可能用運動學公式求解.而物體加速度a與時間t滿足線性關系，于是可以利用a-t圖像求解物體運動的最大速度和時間. 2017-03-14) *①《物理通報》武漢工作室供稿.
3 位移-時間圖像
4 加速度-時間圖像
