圓形區域變化磁場激發渦旋電場的問題剖析及案例分析

黃紹書 王金霞

(六盤水市第23中學 貴州 六盤水 553000)

圓形區域變化磁場激發渦旋電場的問題剖析及案例分析

黃紹書 王金霞

(六盤水市第23中學 貴州 六盤水 553000)

剖析渦旋電場的分布以及渦旋電場中非導體約束和導體約束條件下的電勢問題，給出在限定的圓形區域內均勻變化磁場中的渦旋電場、感生電動勢與電勢的分布規律，以及在這限定的圓形區域內均勻變化的磁場中，非導體約束和導體約束條件下電勢的計算與比較.通過在渦旋電場中對電源、電勢及電壓等概念的引入， 澄清了一些在大學物理教學中涉及渦旋電場的容易模糊、難于理解的概念.對渦旋電場的一個具體案例進行了詳細分析.

感生電動勢 渦旋電場 非導體約束 導體約束 案例分析

1 引言

根據法拉第電磁感應定律和麥克斯韋電磁理論，當某一固定回路L所圍的面積為S的區域由于磁感應強度B發生變化引起其磁通量Φ變化時，將產生感生電動勢(以下簡稱電動勢)ε并在磁場區域及其周圍空間激發出渦旋電場E旋[1].并且，ε與E旋之間的關系為

(1)

顯然

(2)

這就表明，渦旋電場E旋是非保守場即非勢場.正因如此，通常認為在渦旋電場中引入電勢的概念勢必沒有多大的意義和價值.

但是，為了便于對問題的說明和表述，本文在對渦旋電場的分析與討論中，依然引入了電勢這一概念.

關于渦旋電場及其中的電勢分布問題，尚未有圖書文獻給出具體說明，因而，長期以來這一問題總是教學中研討的課題.期刊文獻對這方面的討論是比較豐富的，截今為止，已發表的專業期刊文獻[2～7]已有數百篇，它們從不同的側面和角度對這一問題進行了很有價值的研討，其中最為普遍的討論是目前存在諸多爭議的問題，也就是渦旋電場中導體存在與否對電勢分布的影響問題.

2 兩個問題剖析

這里先對本文中將涉及的導體約束和非導體約束兩個概念進行界定.其中，導體約束是指渦旋電場建立在導體中，其電場和電勢分布除與限定的變化磁場區域分布有關外，還要受到導體回路的約束.而非導體約束是指渦旋電場建立在真空(空氣)中，其電場和電勢分布只與限定的變化磁場區域分布有關.

2.1渦旋電場的分布

這里僅著重分析變化磁場限定在一圓形區域之內，并且沒有導體回路約束的情況.

(3)

相應回路的渦旋電場為

(4)

圖1 變化的磁場限定在一圓形區域內

很顯然，式(3)說明，當r

這里要說明一點，在有導體回路約束的條件下，若導體回路是以變化磁場的圓形區域中心為圓心的電阻線密度相同的均勻導體回路，那么，電動勢和渦旋電場的變化規律仍然分別由式(3)、式(4)確定.其余情況下導體回路中的電動勢和渦旋電場，由式(1)根據回路所圍的磁場區域面積以及回路總長等實際情況確定.

2.2渦旋電場中的電勢

在如圖1所示的模型中，任意回路中每一部分都相當于一個電動勢很小的電源.若將某一回路分為弧長相等的n等分，各等分的電動勢分別為ε1,ε2,ε3,…εn，那么，該回路的電動勢可表是為

ε=ε1+ε2+…+εn

(5)

現分兩類情況來說明渦旋電場中的電勢問題.

2.2.1 非導體約束

這里將沒有導體約束即非導體約束條件下的渦旋電場回路稱為非約束回路，每個非約束回路都是以變化磁場中心為圓心的圓形回路，如圖2所示.這時，式(5)中各等分電動勢相等，即

(6)

圖2 非約束回路

因此，同一非約束回路上的各點電勢相等.如果以變化磁場中心的電勢為零，那么，各非約束回路的電勢可表示為

(7)

即各非約束回路的電勢就等于相應回路的電動勢.

2.2.2 導體約束

同理，將有導體約束條件下的渦旋電場回路稱為約束回路.事實上，約束回路就是渦旋電流回路.

先考慮約束回路是以變化磁場的圓形區域中心為圓心的圓形回路情形.仍然將某一回路分為電動勢相等的n等分，即各等分的電動勢仍符合式(6)的關系.這時，若回路電阻密度不盡相同，那么在沿著渦旋電流的方向，每個等分的電阻電壓降與相應的小電源電動勢就不盡相等，因此，每個等分前后兩端的電勢就可能不相等.為了便于說明問題，設在如圖3所示的模型中，某一回路上除P與Q之間的部分外，其余各部分的電阻線密度都相等，令P,Q之間的電阻為Ri,電壓降為ΔUi,電動勢為εi，其余各部分的電阻均為R，那么

(8)

其中

(9)

圖3 約束回路

當Ri=R時，ΔUi=εi,φP=φQ的情況，同一回路上的各點電勢相等，不同回路的電勢仍然由式(7)確定.

當約束回路處于以變化磁場的圓形區域中心為圓心的兩個圓周上時，可將約束回路簡化成如圖4所示的模型，即一部分在L1圓周上，一部分在L2圓周上.設兩部分的電動勢和電阻分別為ε1和R1及ε2和R2，那么，由式(1)或式(3)可得

(10)

(11)

式(10)、(11)中，k1和k2分別是約束回路在L1上的弧長與L1的周長之比及約束回路在L2上的弧長與L2的周長之比，r1和r2分別是L1和L2的圓周半徑.

圖4 約束回路簡化模型

圖4中C,D兩點的電勢關系由R1,R2的電壓降ΔU1,ΔU2以及約束回路的兩部分電動勢ε1,ε2共同確定.不難看出

φC=φD+ε1-ΔU1

或

φD=φC+ε2-ΔU2

(12)

因此，仿照前述圖3模型的分析方法，容易得出

(13)

(14)

3 一個案例分析

電子感應加速器是渦旋電場在非導體約束條件下的典型應用.在近期和過去的較長時間，好幾個物理Q群都熱議一道關于電子感應加速器的應用題，但未得出合理的結果.

(1)求環形軌道上的感應電場在軌道切線方向上作用在電子上的力；

圖5 題圖

分析與解：電子感應加速器工作過程中，環形軌道上的變化磁場對電子的洛倫茲力指向軌道中心，提供電子做變速圓周運動的向心力.而環形軌道上及環形軌道內的感應渦旋電場對電子的作用力都沿環形軌道的切線方向，因此，對電子起到加速作用.

(1)設某時刻電子做圓周運動的環形軌道上垂直于環形軌道平面的磁感應強度為B，電子運動的速度大小為v，那么

鉆井施工過程的每一個環節都影響著鉆井工程的整體質量和效率，為確保每個施工環節技術措施的有效執行，制定“一環節一對策”的技術措施。對施工過程的每一個環節做施工節點分析，明確鉆井施工節點的同一性和各異性，對同一性的內容進行統一、量化，對各異性的部分進行甄別處理。

(15)

即

mv=eBR

(16)

顯然，只要滿足

(17)

即電子的動量隨磁感應強度成比例增加，就可以維持電子在一定的軌道運動.環形軌道上的感應電場在軌道切線方向上作用在電子上的力為

(18)

(2)由式(1)或式(3)可得，電子運動的環形軌道上的感生電動勢為

(19)

因為，電子運動一周過程中，渦旋電場所做的功為

(20)

所以，環形軌道平面上感應電場對電子的作用力為

(21)

(3)電子在加速運動過程中，根據牛頓第二定律，有

(22)

綜合式(19)和式(22)，得

(23)

(24)

4 結論

通過本文的上述分析，可以得出以下一些結論.當然這些結論以及上述給出的一些算法的描述可能不是很清楚，還期待進一步的討論.

(1)感生電動勢的非靜電力是渦旋電場對自由電荷的作用力，這與動生電動勢的非靜電力即洛倫茲力的來源有本質的區別.

(2)根據圖2、圖3、圖4的模型，可以這樣理解，渦旋電場產生的同時，也伴隨激發出了靜電場.因此，渦旋電場與靜電場往往是同時并存的.

(3)在渦旋電場中引入電勢的概念是很有必要和極有意義的，特別在有導體約束回路中，由于存在電壓降，電勢概念更顯得尤為重要.

(4)渦旋電場中的電勢分布還與變化磁場區域的空間分布狀況有關，變化磁場區域若為非圓形分布，那么其電勢分布的計算過程要復雜得多[8].

(5)電子感應加速器中，電子的加速動力由式(18)和式(21)中兩個切線方向的感應電場力共同提供.同時，綜合式(18)、(21)和(24)三式，不難得出環形軌道上感應電場和環形軌道內感應電場對電子的作用力相等.

1 趙凱華，陳熙謀.電磁學.北京：高等教育出版社,2006：182～185

2 竇志國，張茂才，周進.渦旋電場中導體上的電勢.工科物理,1998(6)：19～22

3 丁世榮.用類比法求解渦旋電場.西安地質學院學報,1995(3):72～76

4 雷甫.關于渦旋電場的教學探討.成都大學學報(自然科學版),1998(1)：58～62

5 崔艷，劉樹森.關于渦旋電場的幾點討論.西北紡織工學院學報,2000(1)：106～108

6 汪鎂.用磁場元的疊加法求解渦旋電場.重慶建筑工程學院學報,1991(3):24～29

7 江遴漢.用類比法研究渦旋電場.大學物理實驗,1998(2):5～7

8 桑芝芳.導體回路中感應電動勢是如何分布的.物理通報,2010(2)：8～11

IssueAnalysisandCaseAnalysisonVortexElectricFieldExcitedbyChangingMagneticFieldinCircularRegion

Huang Shaohua Wang Jinxia

(Liu Panshui No. 23 Middle School, Liu Panshui, Guizhou 553000)

In the paper, the analysis of distribution of the eddy electric field and the electric potential under the nonconductor constraints and conductor constraints in the eddy electric field.Distribution law about the eddy electric field, the induced electromotive force and the electric potential with the uniform changes in the magnetic field within the limited circular area is given,and the calculation and comparison of electric potential under the condition of non-conductor constraints and conductor constraints with the uniform changes in the magnetic field within the limited circular area. By introducing the concepts of power supply, electric potential and voltage in the vortex electric field, which clarifies some concepts involved the vortex electric field that are vague to understand in physics teaching in college.In this paper, a specific case of the vortex electric field is analyzed in detail.

induced electromotive force; eddy electric field; nonconductor constraint; conductor constraint; case analysis

2017-05-18)