基于對數正態分布的多部位疲勞結構的疲勞壽命預測方法

譚秀峰， 謝里陽，*， 馬洪義， 張娜， 羅義建

1.東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819 2.中國第一汽車股份有限公司 技術中心 汽車振動噪聲與安全控制綜合技術國家重點實驗室，長春 130011

基于對數正態分布的多部位疲勞結構的疲勞壽命預測方法

譚秀峰1， 謝里陽1，*， 馬洪義1， 張娜2， 羅義建2

1.東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819 2.中國第一汽車股份有限公司 技術中心 汽車振動噪聲與安全控制綜合技術國家重點實驗室，長春 130011

以實現多部位疲勞結構的壽命預測為目的，基于概率累積損傷法則，推導了基于壽命服從對數正態分布的概率疲勞壽命預測方法。根據損傷臨界值與應力水平無關這一前提條件，將損傷臨界值由傳統確定性的值1轉換為隨機變量，累積損傷由確定性的中值損傷計算，建立了“中值累積損傷-概率損傷臨界值”干涉模型。當對數壽命標準差恒定時，對比了所提出模型和基于Monte Carlo仿真的Miner累積損傷方法的壽命預測結果，驗證了模型的準確性以及其方便快捷的優點；當對數壽命標準差變化時，損傷臨界值由滿足損傷等效的應力基準決定，此時亦可得到高精度的偏于安全的壽命預測結果。

多部位疲勞； 疲勞壽命； 可靠性； 中值損傷； 概率損傷臨界值； Monte Carlo仿真

高周疲勞失效是機械零部件中常見的失效模式，如齒輪齒根疲勞斷裂、軸疲勞斷裂等。由于實際工作環境為隨機載荷作用，故零部件各關鍵部位的應力具有不確定性且同時承載的部位具有失效相關性。另外，由于零部件材料內部組織及表面狀態的不均勻性，各關鍵部位在相同應力作用下的疲勞壽命也具有不確定性。這兩種不確定性使得零部件出現多個存在失效相關性的薄弱部位，而不僅是應力最大的一個部位。因此，這種復雜串聯系統的疲勞壽命很難通過傳統的“應力-強度”干涉模型來進行預測[1-2]。

針對工程中常見的多部位疲勞壽命預測問題，眾多學者從不同角度進行了大量的研究。由于恒幅載荷作用下的結構壽命預測不涉及到失效相關性問題，一些學者已經給出了較為成熟的計算方法[3-5]。對于變幅載荷歷程作用下的多部位疲勞問題，多基于各疲勞部位在某一存活率下的S-N曲線，結合Miner線性累積損傷法則，從強度退化[6-8]或累積損傷[9-13]的角度進行系統壽命預測，忽略了壽命的不確定性導致的累積損傷隨機性的影響。

Miner線性累積損傷法則中，累積損傷為隨機變量，概率密度函數難以確定，需要通過Monte Carlo法計算可靠壽命[14-15]，計算效率降低，多部位疲勞的壽命計算過程更為繁瑣。謝里陽等[16]考慮了疲勞壽命的不確定性，在疲勞壽命服從兩參數Weibull分布且形狀參數不變的條件下，建立了概率累積損傷法則，提出一種適用于多部位疲勞部件的疲勞壽命預測的簡便方法。

本文根據概率累積損傷法則[16]，研究基于對數正態分布的疲勞壽命預測方法，建立了“中值累積損傷-概率損傷臨界值”干涉模型，給出了不同應力水平下對數壽命標準差恒定和變化時概率損傷臨界值的確定，并進一步地通過與Monte Carlo仿真的實例對比，驗證了模型的準確性及高效性。

1 損傷臨界值與應力水平的關系

概率累積損傷法則成立的前提條件是：損傷臨界值DC的分布與應力水平無關[16]。所以，下面將討論壽命服從對數正態分布時，DC的分布是否與應力水平無關。

(1)

可以看出，DC的分布只與s有關，而s與應力水平σ之間的關系可通過如下方法確定。

已知存活率為p的S-N曲線參數，可知

(2)

式中：Φ(·)為標準正態分布函數；Np為存活率為p的壽命。

根據標準正態分布表，若已知任意存活率下的兩條S-N曲線參數，如

(3)

(4)

(5)

顯然，s與lnσ呈線性關系。當s變化時，以45CrNiMoV材料拉壓疲勞p-S-N曲線為例，其參數見表1[17]，將式(5)代入式(1)中，得到DC的統計特征值與應力水平的關系如圖1所示。

若取某一應力水平對應的DC作為損傷臨界值，稱該應力水平為應力基準σB，則σB需滿足損傷等效原則，即σB與變幅應力歷程在相同載荷作用次數下造成的損傷相等。損傷可由均值S-N曲線計算，易知應力基準σB為

(6)

式中：ma為均值S-N參數，可由壽命均值與μ和s的關系Ca/σma=eμ+s2/2計算得到，Ca為均值S-N參數；t為載荷作用次數。

則損傷臨界值為

(7)

其分布函數為

(8)

式中：sσB為應力基準σB對應的對數壽命標準差。

對于s不隨應力水平改變的疲勞壽命來說，如基于等效結構應力法的焊接結構p-S-N曲線[18]，易知DC的分布與應力水平無關，應力基準可選任一應力水平。

表145CrNiMoV拉壓疲勞壽命參數

Table1Tension-compressionfatiguelifeparametersof45CrNiMoV

CmC0．99m0．99ma2．3254×10329．59071．7771×10236．560310．0417

圖1 D的統計特征值與應力水平σ的關系
Fig.1 Relation between statistical characteristics and stress level σ of D

2 “中值累積損傷-概率損傷臨界值”干涉模型

某一恒幅循環應力σ作用下的可靠度可表達為壽命N大于載荷作用次數t的概率，即

(9)

(10)

(11)

令

(12)

則

Pn2>N2

(13)

可知，所建立“中值累積損傷-概率損傷臨界值”可靠度干涉模型滿足“不同應力水平產生的相同損傷造成的失效率相等”這一原則。

由于給定載荷歷程作用下，各疲勞部位的中值累積損傷是確定性的量，所以系統不具有失效相關性[19]。根據串聯系統概率運算法則，含有獨立的q個損傷部位的系統可靠度為

(14)

若考慮載荷歷程的不確定性及其帶來的失效相關性，可根據全概率公式計算含有相關失效的q個疲勞損傷部位的系統可靠度為

(15)

式中：pk為第k個載荷歷程出現的概率；l為載荷歷程的總數。

本模型所需輸入條件包括零件的中值S-N曲線、其他任一存活率下的S-N曲線以及各薄弱部位經平均應力修正后的應力歷程。

3 多部位疲勞結構的應用舉例

下面針對對數壽命標準差恒定和變化兩種情況進行疲勞壽命預測，將“中值累積損傷-概率損傷臨界值”干涉模型與基于Monte Carlo仿真的Miner累積損傷模型在計算精度和效率方面進行對比，并對壽命預測結果進行分析討論。

3.1 對數壽命標準差恒定

(16)

式中：C-1σ和m-1σ為通過對數壽命分位點-1σ的S-N曲線參數。

易知s=0.566 7，不隨應力水平σ變化。p-S-N曲線是平行的，具體p-ΔSess-N曲線圖見文獻[20]，ΔSess為等效結構應力范圍。假設 10個焊縫處的應力歷程相同，均服從正態分布N(320，10.672)。

分別采用式(15)以及基于Monte Carlo仿真的Miner累積損傷模型計算可靠壽命。后者的系統可靠度計算流程如圖2所示，具體步驟如下：

1) 確定待仿真的系統總數x，系統標號由i表示(i=1，2，…，x)，每個系統均具有相同的結構和失效部位，各失效部位經受相同的應力歷程且疲勞壽命獨立同分布，令i=1。

2) 抽出第i個系統，根據疲勞壽命分布隨機生成10個關鍵部位的壽命分位點，因為各部位應力歷程相同，故只需計算出壽命分位點最小的部位對應的損傷即可。

3) 根據應力分布，隨機抽取n個應力值，計算載荷作用次數由1～n對應的累積損傷，若大于1，記為失效。

4) 重復步驟2)和步驟3)，直到i=x。

5) 載荷作用次數j(j=1，2，…，n)對應的可靠度Rj=1-sum(f(:,j))/x，sum(f(:,j))/x為j對應的失效系統個數。

兩種方法得到的可靠度結果如圖3所示，可以看出，所得壽命預測結果一致，進一步證明了所提出模型的正確性。單一部位的可靠壽命顯然不能代表系統的可靠壽命。若只考慮最危險部位，壽命預測結果會大于真實值，造成偏于危險的評估結果。

由于材料性能具有分散性，即使在相同的循環應力作用下，各薄弱部位的損傷演化也會有明顯不同。所以，若只采用某一存活率下的S-N曲線計算系統各部位壽命[9-13]，將其中的最小壽命當作系統在該可靠度下的壽命，會得出錯誤結果。

圖2 Monte Carlo仿真的可靠度計算流程圖
Fig.2 Reliability calculation flow chart of Monte Carlo simulation

圖3 Monte Carlo仿真與本文方法的可靠度結果對比(對數壽命標準差恒定)
Fig.3 Comparison of reliability results obtained by Monte Carlo simulation and proposed method (with constant standard deviation of logarithmic fatigue life)

應用本文方法進行壽命預測的計算時間也非常短(1 s左右)，而Monte Carlo仿真的計算時間隨著系統失效部位和載荷作用次數的增多以及計算精度的提高而大大增加(12核計算機系統抽樣3萬次，如上18個壽命點，需要48 h以上的計算時間)。

3.2 對數壽命標準差變化

令結構材料為45CrNiMoV，材料拉壓疲勞P-S-N曲線參數見表1。同樣假設結構存在10個薄弱部位，且各部位的應力時間歷程相同，應力水平服從正態分布N(620，20.672)。得出的可靠度-載荷作用次數關系曲線如圖4所示。可見兩種方法所得的曲線趨勢一致，結果很接近。

兩種方法的具體結果和相對誤差(前8個壽命點)見表3。從表中可以看出，相同載荷作用次數下，本文方法比Monte Carlo仿真(系統抽樣4萬次)的可靠度計算結果偏低，可得到偏于安全的壽命預測結果。

圖4 Monte Carlo仿真與本文方法的可靠度結果對比(對數壽命標準差變化)
Fig.4 Comparison of reliability results obtained by Monte Carlo simulation and proposed method (with varied standard deviation of logarithmic fatigue life)

表3MonteCarlo仿真與本文方法的可靠度結果對比(對數壽命標準差變化)

Table3ComparisonofreliabilityresultsobtainedbyMonteCarlosimulationandproposedmethod(withvariedstandarddeviationoflogarithmicfatiguelife)

SinglesiteMonteCarlosimulation1．00001．00000．99990．99890．99610．98830．97520．9552Proposedmethod1．00001．00000．99990．99890．99550．98770．97370．9525Relativeerror/%00000．060．060．150．28SystemMonteCarlosimulation1．00000．99850．99990．98960．95800．88690．77320．6222Proposedmethod1．00001．00000．99860．98910．95620．88370．76670．6158Relativeerror/%00．010．010．050．180．360．891．17

4 結 論

1) 對數疲勞壽命標準差恒定時，本文的模型能準確地進行壽命預測；對數疲勞壽命標準差變化時，本文的模型能得到滿足一定精度要求的偏于安全的壽命預測結果。

2) 與Monte Carlo仿真方法相對比，本文模型的計算效率較高且簡便，而前者的計算時間隨著系統失效部位、載荷作用次數的增多以及計算精度的提高而大大增加。

3) 系統的可靠壽命并不等于其任一零件的可靠壽命，若將一個最危險部位的壽命當作結構系統壽命，壽命預測結果會大于真實值，造成偏于危險的評估結果。

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(責任編輯： 徐曉)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160815.0904.004.html

Fatiguelifepredictionmethodformulti-sitefatiguestructurewithlognormalfatiguelife

TANXiufeng1,XIELiyang1,*,MAHongyi1,ZHANGNa2,LUOYijian2

1.CollegeofMechanicalEngineeringandAutomation,NortheasternUniversity,Shenyang110819,China2.StateKeyLaboratoryofVehicleNVHandSafetyTechnology,R&DCenter,ChinaFAWLtd.Co.,Changchun130011,China

Topredictthefatiguelifeofmulti-sitefatiguestructure,aprobabilisticfatiguelifepredictionmethodbasedontheprobabilisticaccumulateddamageruleisproposed,consideringthatfatiguelifeobeyslognormaldistribution.Accordingtothepreconditionthatthedamagecriticalvalueisindependentofstresslevel,thedamagecriticalvalueistransformedfromthetraditionallydeterministicvalue1intoarandomvariable,andtheaccumulateddamageiscalculatedbythemedianS-Ncurve.Anaccumulateddamage-probabilisticdamagecriticalvalueinterferencemodelisthusbuilt.Whenlogarithmicfatiguelifestandarddeviationisconstant,lifepredictionresultoftheproposedinterferencemodeliscomparedwiththatoftheMineraccumulateddamagemodelbasedonMonteCarlosimulation.Thecomparisonresultverifiesaccuracyandefficiencyoftheproposedmodel.Whenlogarithmicfatiguelifestandarddeviationisvaried,thedamagecriticalvalueisdecidedbydamageequivalentstress,andahigh-precisionandsaferlifepredictionresultcanbegained.

multiple-sitefatigue;fatiguelife;reliability;mediandamage;criticalvalueofprobabilisticdamage;MonteCarlosimulation

2016-04-27；Revised2016-05-19；Accepted2016-07-11；Publishedonline2016-08-150904

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(51335003)；ProjectsupportedbytheCollaborativeInnovationCenterofMajorMachineManufacturinginLiaoningProvince

.E-maillyxie@me.neu.edu.cn

2016-04-27；退修日期2016-05-19；錄用日期2016-07-11； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-08-150904

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160815.0904.004.html

國家自然科學基金 (51335003)； 遼寧重大裝備制造協同創新中心資助項目

.E-maillyxie@me.neu.edu.cn

譚秀峰， 謝里陽， 馬洪義， 等． 基于對數正態分布的多部位疲勞結構的疲勞壽命預測方法J． 航空學報,2017,38(2):220376.TANXF,XIELY,MAHY,etal.Fatiguelifepredictionmethodformulti-sitefatiguestructurewithlognormalfatiguelifeJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(2):220376.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0210

V215.7; TB114.3

A

1000-6893(2017)02-220376-07