小題大做
——一道向量小題的解法探究與教學反思

莫利琴 官 欣

(昆明一中，云南 昆明 650030；昆明市西山區粵秀中學，云南 昆明 650031)

小題大做
——一道向量小題的解法探究與教學反思

莫利琴 官 欣

(昆明一中，云南 昆明 650030；昆明市西山區粵秀中學，云南 昆明 650031)

通過一道向量小題的解法與錯誤分析，想到在數學具體內容教學和解題教學過程中的情景，提出學生在學習、考試中表現出的問題，其實是教師平時知識教學和解題教學中的問題.

平面向量；小題；解法；反思

命題解析本題以選擇題的形式出現，是一道以三角形為背景的平面向量問題. 平面向量在高考中的考查通常是簡單題到中檔題，一般以選擇題或填空題的形式出現(有時在解答題中和三角函數一起考查)，常考三方面的內容：1.向量的坐標運算；2.平行四邊形法則(三角形法則)；3.一個向量在另一個向量上的投影問題.應該說考查內容、考察形式和難度基本都是相對固定的，屬于必得分題.但本題學生普遍感覺比較困難，得分率很低.

解法、原理、錯誤分析

原理平面向量基本定理告訴我們：平面內的任一向量可以由這個平面內任意兩個不共線的向量表示.選擇好基底后,平面任一向量都可用這組基底來唯一表示.

錯誤原因思維定勢，沒有合理地選擇基底.學生按照習慣選擇以三角形的某一頂點引出的兩條邊所成的向量為基向量，而忽視了這兩個向量的模和夾角都未知，從而無法求解.通常選基底的原則是這兩個向量有盡量多的已知元素.

原理根據平面向量坐標運算法則：如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)，那么a·b=x1x2+y1y2.

錯誤原因對未知數(量)的恐懼 .學生們對于運算過程中的未知量總是覺得別扭，不敢主動設未知數，不敢帶著未知數運算.

原理設θ為a與b的夾角，則acosθ叫做向量a在b方向上的投影

錯誤原因對向量投影的概念不熟，對直角三角形中的邊角關系不敏感.

解法4 (特殊值法)由于題中△ABC沒有限制條件，可以設為等腰直角三角形(A為直角頂點)，建系，則其余各點坐標可得，計算即可.

原理從特殊到一般是高中數學主要思想方法之一，對于沒有太多限制的題目，特殊點、特殊位置、特殊圖形是我們找到答案的快速方法，尤其選擇題填空題，省時省力，是得分利器.

錯誤原因對高中數學思想方法理解掌握不夠，拿到題就做，沒有養成“一慢，二想，三動手”的習慣，也沒有歸類總結題型、做法的習慣.

反思提高學生的數學思維能力和解題能力(包括運算能力)，一直是我們高中數學教學中想達到的目標之一，但很多時候，往往教師一眼可以看穿，覺得容易的題目，學生卻問題多多.反思自己的教學過程，覺得問題大半在日常教學上：模式化明顯，人為痕跡重；重講授，輕啟發；重縱向練習，輕橫向聯系；往往圍繞一個問題，一種題型，甚至于一種做法反復訓練，學生機械訓練，疲于奔命.往往滿足于完成老師拿來的題目，到后來，連單純的解題，也會陷入題海，落入“見樹不見林”的境地，思路越練越窄.最后形成教師“凌絕頂”，學生卻“只在此山中，云深不知處”.

1.對于數學內容教學的反思“要使學生感到自己是一個研究者、思考者，而不是消極的知識“掌握者””.我們的課堂教學應該讓學生經歷數學問題的發展過程，逐步體驗和學會從直觀感知到觀察發現，從抽象概括到推理證明，再到反思和構建的學習過程.然而在實際的課堂教學中，有時為了趕進度，有時懷疑學生的能力，有時是對教學目的認識有偏差，甚至為了省時省事，不敢不愿放手讓學生自己探究，往往直接告訴學生：知識是什么樣的，怎樣用，用時應注意什么，然后開始大量的訓練，還覺得課堂比較高效. “將數學作為一個現成的產品來教，留給學生活動的唯一機會就是所謂的應用，其實就是做問題.這不可能包含真正的數學，強有力作問題的只是一種模仿的數學……長期以來所教的沉悶的模仿數學，不是有效的數學，而是無價值的數學.”在這樣的教學模式下學生知識之間沒有聯系，對知識理解不系統，知識結構沒有建立起來，所以凡出現在知識點交匯處出的題目，就覺得困難重重，是似而非，畏手畏腳，更不要說自己探究什么數學問題了.

2.對于解題教學反思

“解題是一種實踐性的技能…我們是通過模仿和實踐來學會任何一種實踐性技能的…在學習解題時，你必須觀察和模仿別人在解題時的做法，最后你通過解題學會了解題.

想要提高學生的解題能力的教師，必須逐漸地培養學生思維里對題目的興趣，并且給他們足夠的機會去模仿和實踐.…當教師在課堂上解一個題目時，他應當對他的思路稍加渲染，而且向自己提出那些他在幫助學生時使用的同樣一些問題.受益于這樣的引導，學生最終將發現這些問題和建議的正確用法.而且通過這樣去做，學生將學到一些比任何具體的數學知識更重要的東西.”這兩段話很好地闡述了作為教師應該怎樣進行解題教學.“模仿-實踐-興趣-思路引導”，學生在此題中出現的問題，是在以前的學習中，光有模仿和實踐，沒有關于解題思路的真正理解，由于疲于解題，忙于應付，更談不上興趣，所以實際操作中，題目條件、問法、表述方法稍有變化，就處理不了.想想課堂上，如果我們僅僅是讓學生反復地練習而忽視對思路的分析、對解題原理的探討、對涉及到的知識點的再加工，必然會導致學生的思想僵化，方法單一，失去做題的動力和興趣.形成課堂上“學生皆醉，老師獨醒”，考試時，老師覺得簡單，學生感覺痛苦的局面.

學生表現出來的問題，是以往教學中問題的堆積，而通過學生表現出的問題，老師更應該反思自己的問題，從而不斷提高，實現教學相長.

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著.普通高中課程標準實驗教科書：數學必修[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2] [蘇]B.A.蘇霍姆林斯基著.給教師的建議[M]杜殿坤編譯.教育科學出版社1984年第二版,537.

[3] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，李士锜，等，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

莫利琴(1974.11-)，女，云南省昆明人，中學一級教師，從事高中數學教學.

官欣(1975.12-)，男，云南省昆明人，中學一級教師，從事高中數學教學.

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1008-0333(2017)28-0032-02